Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 5. Если определенно-положительная функция g {у; t) имеет бесконечно малую верхнюю грань и если функция G {у; t) определенно-положительная, то невозмущенное движение х (t) асимптотически устойчиво.
Обозначим через h (у) определенно-положительную функцию, соответствующую g (у; t) (см. следствие 3), а через H (у) — определенно-положительную функцию, соответствующую G {у; і). Как и в следствии 3, выберем число X таким, чтобы при | б | =?; х g (б; 0) =?! тг (К) и, стало быть, г ^ е. Если | б | =sC х, то при перемещении у вдоль траектории, начинающейся в б, g {у; t) монотонно убывает и стремится к пределу L, где L^O. Предположим, что L > 0 для некоторого б. Тогда g {у; t) ^ L, и потому (в силу того, что g (?/; t) имеет бесконечно малую верхнюю грань) существует положительное число T] такое, что г ^ и. Отсюда следует, что в течение всего движения
г)<г<є. (23.7.15)
Обозначим через X точную нижнюю грань определенно-положительной функции H (у) в замкнутой области, определяемой условием (23.7.15). Тогда можем написать
G (у; t) > H (у) > I > 0 . (23.7.16)
и
g (У, t) = gib; 0) - JGdt<g (б; 0) - U. (23.7.17)
Однако последнее неравенство невозможно, поскольку его правая часть при достаточно больших значениях t отрицательна. Отсюда следует, что величина L может быть только нулем, и так как g (у; і) имеет бесконечно малую верхнюю грань, то г —>- 0.
Приведем несколько примеров систем, устойчивых по Ляпунову. В первом и во втором примерах мы найдем общее решение уравнений движения, а в третьем примере воспользуемся теоремой Ляпунова.
Пример 23.7A. Гармонический осциллятор. При надлежащем выборе масштаба времени выражения для кинетической и потенциальной энергий, а так-
*) Простым примером тому может служить функция g (у; t) = г2 + sin2 (rt).
476
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. X XIII
же для функции Гамильтона будут иметь следующий вид:
Т = ±'д*, V=JqZ, я = і-(ї*+р2). (23.7.18) Уравнения движения запишутся в виде
'q = р, 'р = —q. (23.7.19)
Решением этих уравнений будет
q = a cos t + ? sin t, p = —a sin t ? cos t, (23.7.20)
где через a, ? обозначены начальные значения переменных q, р. Для траектории, начинающейся в соседней точка (ос', ?'), будем иметь
g'-g = (a'-a)cos*+(?'-?)sini, \ ,„,,,,
p'_p=_(a'_a)sini+(?'-?)cosi J ^0./.^1)
Г2 = _ ,)2 + (р> _ р)2 = (а' _ а)2 + (?. _ ?)2. (23.7.22)
Последняя формула показывает, что расстояние между изображающими точками в невозмущенном движении и в возмущенном движении остается неизменным во времени; этот результат геометрически очевиден, поскольку изображающие точки движутся по концентрическим окружностям с одинаковой угловой скоростью. Движение устойчиво в смысле Ляпунова, и мы можем положить х = е.
В более общем случае, когда
T = J (gf + Jl+... +?) = J (Pl +pi+...+Pl), 1
V = ~2 ("1M + тЫ + ¦ ¦ ¦ + тпЯп)>
(23.7.23)
уравнения движения принимают форму
qr = pr, P7. = -mTqr, г = 1, 2, . . ., п. (23.7.24)
При этом написанные уравнения мы рассматриваем как точные, а не как приближенные, как это мы делали в теории малых колебаний. Решение имеет вид
о
qr = ar cosmTt + -^- sin mTt, pr=—mrar siamrt + $T cosmr<, (23.7.25)
где начальная точка определяется координатами (a]? a2, • . ., an, ?4, ?2, ¦ • •, ?„). Для траектории, начинающейся в близкой точке (а[, a2, . . ., а'п, ?j[, ?^. . . ., ?„), будем иметь
о/_о
q'r-qT = (aT-aT)coamrt+-!L-*ainmr., ^ щ
р'Т — Pr= —тг (а'Т — аг) sin mTt+(%— ?r) cos
'' }
;os mrt. )
Следовательно,
_1_
mf 4rr rr, . ^ (23.7.27)
(Pr - Pr)2 < m% (a'r - ar)2 + (ft .
(q'r-Яг)2 K(Wr-Vr)* + -^ (fr
?;-?r)2, l
r-Pr)2 і
r=\y(t)\<K\6\, (23.7.28)
где K/~\/2 есть наибольшее из чисел mr и Mm1.. Критерий устойчивости по Ляпунову выполняется, и мы можем положить X= е/К.
Пример 23.7В. Рассмотрим движение, определяемое уравнениями
У ' w " 1 (23.7.29)
+ а(х/г), 1 a (г//r), J
где г = "\/х2 ¦f }! і и > 0. В полярных координатах имеем
'г = а -г, 9=1. (23.7.30)
S 23.7]
УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ (1)
477
Траектории этого движения устойчивы по Ляпунову. Рассмотрим, например, периодическую орбиту г = а, 6 = t, проходящую через начальную точку (а, 0). Через близкую к ней точку (а + бі, б2) будет проходить орбита
г = а + б1е-<, 6 = б2+г. (23.7.31)
В возмущенном движении при t оо г ->- я, так что расстояние между изображающими точками на спиральной орбите и на круговой орбите непрерывно убывает и стре-1
мится к пределу 2а sin -g- j б2 |. Периодическая орбита устойчива по Ляпунову, и мы можем положить X = е.
Пример 23.7С. Рассмотрим задачу, в которой уравнения (23.7.6) возмущенного движения имеют вид
Ul=—(Уі — $У2)(і—ауї-ЬуІ), t (23 7 32)
Уz = — (Уг + ОДі) (1 ~аУі — ЬУІ), где 0<a<? и 0 < а < Ь. Возьмем определенно-положительную функцию
' / = сцг! + M- (23.7.33) Тогда соответствующая функция F будет иметь вид
F = 2 (ajrj + M) (1 - <ЧЯ - Ъу\). (23.7.34)
