Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве еще одного примера рассмотрим систему
где г = ~\/х2 -\- у2. Решением, соответствующим начальной точке (а cos ?, а sin ?), будет
и движение будет представлять равномерное вращение по окружности с периодом 2л/а. Равновесие в точке О будет устойчивым. Круговые траектории неустойчивы по Ляпунову, но обладают свойством орбитальной устойчивости.
Понятие орбитальной устойчивости можно расширить и включить в него аналог асимптотической устойчивости. Будем называть траекторию С асимптотически устойчивой в орбитальном смысле, если при t-*- оо d (ср (f; а+6), С) —*- 0 всякий раз, когда | б | <С к. Например, в теории предельных цикДов (гл. XX) мы установили, что в окрестности устойчивого предельного цикла траектории имеют вид спиралей, приближающихся к предельному циклу; таким образом, устойчивый предельный цикл асимптотически устойчив в орбитальном смысле. Конкретной иллюстрацией может служить пример 23.7В, в котором система обладает как асимптотической устойчивостью-в орбитальном смысле, так и устойчивостью (но не асимптотической) в смысле Ляпунова *).
Существует еще много других определений устойчивости движения. Можно, например, принять определение, аналогичное орбитальной устойчивости, но связанное не с фазовым пространством, а с траекторией в д-про-странстве. Согласно этому определению движение является устойчивым, если траектория в g-пространстве, соответствующая слегка измененным начальным условиям, располагается вблизи от невозмущенной траектории. Наглядный пример орбитальной устойчивости такого типа приведен в § 17.5, п. 1; невозмущенное движение в этом примере представляет движение по замкнутой кривой х = а, причем ср (а) <С 0. Некоторые другие определения устойчивости приводились нами в § 17.5 и в § 22.7.
§ 23.9. Устойчивость периодических орбит. Как мы видели в § 23.5, в задаче о движении в окрестности периодической орбиты один характеристический показатель равен нулю. Здесь мы докажем,, что если все остальные характеристические показатели имеют отрицательные вещественные части, то периодическая орбита асимптотически устойчива в орбитальном смысле.
Возьмем точку О на периодической орбите за начало координат и направим ось хт вдоль касательной к орбите в точке О. Тогда в этой точке и в окрестности ее будем иметь Хт > 0. Рассмотрим траекторию, начинающуюся при t = 0 в точке P вблизи от точки О. Эта траектория пересечет плоскость хт = 0, переходя от значений хт •< 0 к значениям хт > 0, поскольку в окрестности точки О Хт > 0. Обозначим координаты точки пересечения через (осі, GC2, . . ., ссщ-ь O), а время пересечения (положительное или отрицательное) — через 9. Введем (т — 1)-мерный вектор а = (ссь сс2, . . . . . ., ocm_i); в рассматриваемой задаче |сс | и 9 будут малы. Предположим, что в момент ст + 0' характеристика снова пересекает плоскость хт = О в точке а', переходя на этот раз от значений хт << 0 к значениям хт > 0; здесь Ct обозначает период периодического движения, а величины | а |
*) Этот пример наводит на мысль, что и в общем случае асимптотическая устойчивость в орбитальном смысле влечет за собой устойчивость по Ляпунову. Эта точка зрения находит подтверждение в том, что скорость возрастания сдвига времени | V ¦— t\ в первом приближении пропорциональна величине | <p (t; о -\- 6) — <р (/'; а) |, которая в свою очередь убывает по экспоненциальному закону.
X = —уг, у = хг,
(23.8.4)
X = a cos [at -)- ?), у = a sin [at -(- ?),
(23.8.5)
480
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. XXIJ
и I 0' I являются малыми. Характеристика много раз пересекает плоскость хт — 0, но пересечение в точке ос' (спустя время, равное почти а) точно определяется из соображений непрерывности. На рис. 102 иллюстрируется случай т = 2.
Точка ос' полностью определяется точкой et, а = Ua, причем оператор U в качестве неподвижной точки имеет точку ос = 0. Матрица А линейного приближения к U (имеющая т — 1 строк и т — 1 столбцов) имеет вид
А = (da'r/das)Q. (23.9.1)
Кроме того, разность 9' — 9 зависит только от а:
0' = 0 + tp (O1, a2, . . ., om_0 = 0 + ip (а).
-(23.9.2)
Функция ip обращается в нуль при а = О и имеет непрерывные первые производные, и поэтому существует постоянная К такая, что если | ос | достаточно мало, то |tp(a) \ <К Ia |.
Пусть теперь характеристика, начинающая в точке Р, определяется то параметрами аь а2, ¦ . ., am_t, 0. Если T есть оператор преобразования (а, 0) в (а', 0'), то матрица линейного приближения к этому оператору имеет вид
OaJ да[ да'х
Oa2
Рис. 102.
da, da2
да 2 Oa2
da'j дат-і
О
О
дат
да'„
Oa1 dQ' . даі
Oa2 дв' да2
c5am_, 09'
(23.9.3)
Oa7n-!
и характеристический полином этой матрицы равен (ц. — 1) P (р.), где P (ц.)— характеристический полином (степени тп — 1) матрицы А. Обозначим нули полинома P ([i) через (Ji1, ц.2, • . ., Li7n-I- Тогда характеристические показатели периодической орбиты будут равны О, X1, X2, . . ., Xm_j, где еХт = \ir (§ 23.4), и так как вещественные части показателей X7. отрицательны, то I ц.г I < 1 при г = 1, 2, . . ,, тп — 1. Следовательно, преобразование С/ асимптотически устойчиво и ICT71Gt | -> О при п-^оо.
