Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, периодическая орбита асимптотически устойчива в орбитальном смысле. К этому выводу мы пришли из рассуждений, проводившихся для дискретной системы точек на траектории возмущенного движения, но результаты остаются в силе и в общем случае, поскольку для любого конечного промежутка времени характеристика изменяется непрерывным образом в зависимости от начальных данных.
Обозначим через па + 9<«> момент re-го пересечения плоскости xm = О характеристикой. Докажем, что величина 9<"> ограничена; разность | V — t \ (в определении орбитальной устойчивости) не возрастает неограниченно.
Для целых положительных значений г имеем
90-)=9^-1)+^(^-10), (23.9.4)
где 0'°' — 6. и. следовательно.
п-1
0<"> = 9+ J г|з(Г<-в). (23.9.5)
§ 23.10]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
481
Далее, имеем
I Vb (T^a) I < К I Па | (23.9.6)
и
I Tra I < скг, с > О, 0 < к < 1, (23.9.7)
для всех г при условии, что I а | достаточно мало. Неравенство (23.9.7) вытекает из следствия из теоремы Пуанкаре — Ляпунова (§ 21.15). В результате получаем
п— 1 OO
|Є<«)|<|Є| + Ас 2 Ar<|6|-f.йГс 2 kr=\Q\ + Kc/(l-k), (23.9.8)
r=0 r=0
что и требовалось доказать.
§ 23.10. Вынужденные колебания*). Выше (в § 9.10) мы уже рассматривали вынужденные колебания осциллятора с затуханием. Уравнение движения такой системы является линейным. Переход к исследованию вынужденных колебаний нелинейных систем связан с весьма большими трудностями, и обычно, чтобы достигнуть прогресса, приходится вводить упрощающие предположения, которые часто бывает трудно оправдать. Поясним это на примере движения математического маятника (пример 5.2A), на который действует дополнительная малая горизонтальная сила таг sin pt, где є — малый параметр. Уравнение движения маятника запишется в виде
maQ = —mg sin 6 + таг sin pt cos 8, (23.10.1)
или
ё + re2 sin Є = є cos Є sin pt, ге2 = gla. (23.10.2)
Напомним, что период свободных колебаний с малой амплитудой а лишь немного превышает 2л/п; при увеличении амплитуды а от нуля до я период о непрерывно возрастает от 2njn до оо. Точнее, о = АК/п, где k =
. 1 = sin Y а.
Рассмотрим по отдельности нерезонансный случай, когда разность I п2 — р2 I не является малой, и резонансный случай, когда параметр р близок к п.
1) Рассмотрим сначала нерезонансный случай. Решение соответствующего однородного уравнения (23.10.2) определяет свободные колебания. Однако они не представляют для нас интереса, поскольку в механической системе практически всегда имеется трение, и потому свободные колебания затухают. Частное решение, которое стремится к периодической функции с периодом 2л/р, выражает вынужденное колебание. Вынужденное колебание малой амплитуды всегда существует; если же р < л, то существуют два вынужденных колебания конечной амплитуды.
Чтобы исследовать вынужденные колебания малой амплитуды, возьмем линейное приближение к уравнению (23.10.2):
Є + и29 = є sin pt. (23.10.3)
*) Вынужденные колебания имеют важное значение в астрономии и в технике. Различные рассмотренные здесь примеры можно найти у Е. W. Brown (Bice Institute Pamphlets, 1932; Elements of the Theory of Besonance, Cambridge, 1932; Planetary Theory, by E. W. Brown and C A. Shook, Cambridge, 1933); см. также H. Jeffreys (Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, XII, 1959, стр. 124) и В. A. Struble (Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, XV, 1962, стр. 245).
(Рассматриваемой в этом параграфе задаче о колебаниях системы с одной степенью
свободы, близкой к консервативной (х -f- / (х) = ег|з (х, х, t, є), г|з (х, х, t, г) =
= 1)з (х, х, t + Г, є)), посвящено подробное исследование А. М. К а ц а, Прикл. матем. и мех., 19, стр. 13—32, 1955.— Прим. перев.)
31 Л. А. Парс
482
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. ХХШ
Решением этого уравнения будет
9 = sin Pt- (23.10.4)
Оно дает приближенное выражение для вынужденного колебания конечной амплитуды.
Далее, если р < п, то существуют свободные колебания конечной амплитуды а, имеющие период 2п/р. (Возьмем, например, такое значение р, чтобы амплитуда свободного колебания с, периодом 2п/р была равна 60°. Тогда
к = sin ¦i а = 1/2, К = 1,6858 и pin = п/2К = 3,1416/3,3716, что грубо
равняется 27/29.) Существование свободного колебания с периодом 2л/р предполагает возможность вынужденного колебания примерно такой же амплитуды. Представим свободное колебание в форме
Є = ф (*).
Функция ф (t) нечетна, периодична с периодом 2п/р и имеет амплитуду а; явное выражение для ф (t) дается формулой (5.2.9). Будем теперь искать решение уравнения (23.10.2) в форме ф (t) + у, где у — малая величина порядка е. Подставляя в (23.10.2), получаем приближение, верное с точностью до членов первого порядка относительно є:
у + п2у cos ф (t) = є cos ф (і) sin pt. (23.10.5)
Если у удовлетворяет этому уравнению, то ф (t) -\- у и —ф (f) + у будут приближенными решениями уравнения (23.10.2).
Частное решение уравнения (23.10.5) можно представить в форме
