Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
* = 1г(та8-Ав+^г«и>ф)
(23.10.17) (23.10.18)
Эти уравнения определяют медленную вариацию величин а и ср.
Уравнения (23.10.17) и (23.10.18) имеют знакомую нам форму (19.3.1). Представим изменение а и ср на диаграмме' как движение изображающей
точки; а, ср будут полярными координатами изображающей точки в моменті. Особые точки поля лежат на луче ср = 0; соответствующие значения координаты а находятся из уравнения
ja3 — ка+-^ = 0,
(23.10.19)
которое, будучи уравнением третьей степени, имеет либо один, либо три вещественных корня. Таким образом, будем иметь либо одну особую точку, либо три особые точки. (Заметим, что уравнения
ср = я, -^ал
¦ка-
Рис. 103.
_1_
P2
= 0
также определяют те же точки.)
Особые точки соответствуют решениям (23.10.16), (23.10.17), в которых •а и ср постоянны. Эти решения представляют так называемые стационарные колебания, в которых главный член ряда (23.10.11) является чисто синусоидальным: z = а sin {pt — ср), где а и ср постоянны, причем а является вещественным корнем уравнения (23.10.19). Зависимость а от к показана на рис. 103. Отбрасывая член с а3 в левой части (23.10.19), получаем для а выражение а = 1/(кр2), совпадающее с элементарным решением (23.10.4), полученным для колебаний с малой амплитудой. Уравнение (23.10.19) имеет либо три вещественных корня, либо один, в зависимости от того, превышает ли параметр к некоторое критическое значение к0 или нет. Если к < к0, то имеется одно стационарное колебание; если к > к0, то — три стационарных колебания. Значение к0 равно 3/(25/3/?4''3).
Перейдем теперь от стационарных колебаний к общему случаю, когда амплитуда а и фаза ср медленно изменяются в соответствии с уравнениями (23.10.17), (23.10.18). Эти уравнения допускают первый интеграл
32
24 —~- ка2 + -^- cos ср = с.
(23.10.20)
§ 23.10]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
485
Кривые, определяемые этим уравнением, представлены на диаграмме как траектории изображающей точки. Они показаны на рис. 104 и рис. 105; первый из них относится к случаю, когда имеется один вещественный корень, а второй — к случаю, когда имеются три вещественных корня. Скорость движения изображающей точки по траектории определяется уравнениями (23.10.17) и (23.10.18).
Особым точкам на графиках соответствуют стационарные колебания; поведение кривых в окрестности особой точки отражает изменение параметров движения, связанное с малым возмущением стационарного колебания. Поэтому для определения устойчивости или неустойчивости стационарных колебаний (в смысле § 23.8) можно воспользоваться результатами гл. XIX. Так, на рис. 104 имеется одна особая точка типа центра, и, следовательно, соответствующее стационарное колебание устойчиво. На рис. 105 имеются три особые точки. Две из них являются центрами, и соответствующие им стационарные колебания устойчивы, третья представляет собой седло, и ей
Рис. 105.
соответствует неустойчивое колебание. На рис. 103 показаны амплитуды стационарных колебаний, сплошная линия соответствует устойчивым колебаниям, пунктирная — неустойчивым.
486
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. XXIIJ
Рассмотрим вариации величин а и ср в окрестности устойчивого стационарного колебания; возьмем, например, вариацию, определяемую кривой Г на рис. 104. Эта кривая замкнутая, так что вариация является периодической. Такие долгопериодические вариации параметров а и ср называются биениями. Таким образом, с точностью до величин порядка т) движение маятника можно представить как суперпозицию периодического движения z = a sin (pt — ср) с периодом 2л/р, амплитуда а и фаза ср в котором медленно изменяются с большим периодом 2, и добавочного движения, которое приближенно можно считать короткопериодическим с периодом 2л/3р.
Для определения периода 2 подставим в уравнение (23.10.17) выражение для ср, полученное из (23.10.20). Проделав это, будем иметь
s=^f(s), (23.10.21)
где через s обозначено а2 и
If(S)P = S-P* (с+ -j ks--^s2y. (23.10.22) Период 2 выражается через эллиптический интеграл:
V 2P
HtSp (23л(ш)
где d)ifl2 — соответственно минимальное и максимальное значения а (достигаемые в точках Ai и A2, рис. 104).
Если теперь (путем надлежащего выбора масштаба времени) придать р значение, равное единице, то корни уравнения (23.10.19), дающие значения х в особых точках, окажутся равными
—2а, а — ?, а + ?,
где ? = 1/ а2 —— ; соответствующее значение к будет равно -i- ( а2--—\ . Кривые
» а 4 \ а /
на рис. 104 построены для случая a = 1/2, значение к для этих кривых равно —7/8, и имеется одна особая точка (—1, 0). Кривые на рис. 105 построены для случая a = 2, A= 7/4, и имеются три особые точки: (—4, 0), (2—"1/2", 0), (2+1/2J 0).
В этих расчетах не принималось во внимание влияние трения; учет его может привести к тому, что вместо центра мы получим устойчивый или неустойчивый фокус.
Исследование устойчивости можно было бы продолжить до членов порядка и2, yf, . . ., однако это приводит к громоздким вычислениям.
