Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
г= 1,2, п } (23.6.2)
(знак суммы мы для краткости записи опускаем). Величины ars = asr, ?rs, yTs = ysr равны
_ dm _ dm dm _ „.
ага~Ж^7* Prs_^op7' Trs= opTopT' ( }
где после дифференцирования подставляются значения q и р в первоначальном движении.
470
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. XXIII
Уравнения (23.6.2) имеют гамильтонову форму, роль переменных q и р играют здесь | и п. Функция Гамильтона имеет вид
1 1
& J Vrslrls + '&rt&rVs + -^УгаЧт^*, (23.6.4)
где, как и вывде, повторяющиеся индексы означают суммирование. Если вектор с составляющими (i1, |2, . . ., |n, Tj1, T]2* • ¦ •, iln) обозначить через g и записать уравнения Гамильтона в форме (22.1.5), то будем иметь
E = ZSS1 = ZSl, (23.6.5)
где Z, как обычно, обозначает матрицу
a S — симметрическую периодическую матрицу размером 2п X In.
Докажем теперь, что если g, х — два независимых решения уравнений в вариациях (23.6.5), то функция
Ф = ?'?х (23.6.7)
сохраняет постоянное значение. В самом деле, производная от этого выражения
cj) = ?'Zx + t'Z* = t'S'Z'Zx + t'ZZSx (23.6.8)
равна нулю, поскольку матрица 8 симметрическая и Z' = — Z. (Развернутое выражение для ф имеет вид
ІЗ (1гГ]г-г]Лг), (23.6.9)
г=1
где i1, |2, . . ., |n, Tj1, Tj2, . . ., Tjn обозначают составляющие вектора ?, a |?, |2, . . ., |„, Hj, T]2, . . ,, T)n — составляющие вектора х.) Итак, функция ф остается постоянной; отсюда следует, что
?'Zx = 6'Ze, (23.6.10)
где 6 и є обозначают соответственно значения g и х при ? = 0.
Возьмем, в частности, векторы ?, х в момент времени t = a. Тогда
g = J?(a)o = Мб, X = .В (а) є = Же, (23.6.11)
где Jf, через которое мы обозначили JR (а), представляет матрицу монодромии фундаментальной матрицы It (t) (см. § 23.4). Из (23.6.10) имеем
VMZMe = o'Ze, (23.6.12)
и так как это справедливо для произвольных значений б, е, то матрица M обладает следующим свойством:
MZM=Z. (23.6.13)
Такая матрица называется симплектической.
Напомним, что все матрицы монодромии имеют одни и те же собственные значения. Если р есть собственное значение симплектической матрицы M (которая является матрицей монодромии фундаментальной матрицы JR (?)), то 1/р также является собственным значением. В самом деле, если р — собственное значение матрицы М, то
I Ж'-pl2n | = 0. • (23.6.14)
Отсюда
I M'ZM — IiZM I = 0, (23.6.15)
S 23.7]
УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ (1)
471
и, следовательно, в силу (23.6.13)
IZ-LiZMj = O. (23.6.16)
В результате получаем
= 0, (23.6.17)
M---I9n
откуда видно, что 1/ц. есть собственное значение матрицы М.
Вспоминая, что Li1. = еа1г, легко приходим к теореме, сформулированной в начале параграфа.
Как мы выяснили в § 23.5, один из характеристических показателей X равен нулю. Теперь мы установили, что все ненулевые показатели встречаются парами: Хг и —A7.. Но так как общее число всех показателей является четным, то нулевых показателей должно быть два. Кроме того, поскольку матрица M вещественная, ее собственным значением, вместе с Li, будет комплексно-сопряженное число Li. В результате получаем, что если К есть характеристический показатель, который не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то % также будет характеристическим показателем. Теорема, таким образом, доказана.
§ 23.7. Устойчивость траекторий (1). Впервые понятие устойчивости было установлено для системы, выведенной из положения равновесия (§ 9.1). В § 9.9 мы это понятие применили при исследовании равновесия гироскопической, системы, а в § 9.6—при исследовании установившегося движения гироскопической системы. Наконец, при изучении уравнений в вариациях (§ 23.1) мы ввели понятие устойчивости движения по первому приближению.
Возникает вопрос: можно ли каким-либо разумным способом обобщить понятие устойчивости на общий случай движения и что следует тогда иметь в виду, говоря об устойчивости движения, а не об устойчивости равновесия?
Напомним, что мы рассматриваем кривые в фазовом пространстве 2п измерений, а не в ге-мерном gr-пространстве. Во- многих случаях невозмущенная исходная характеристика представляет собой периодическую орбиту.
Будем пользоваться обозначениями § 23.1. Рассматриваемые нами орбиты представляют собой траектории уравнений (23.1.1):
хг = Xr (xi, х2, . . ., хт), г = 1, 2, . . ., тгъ, (23.7.1)
или, в сокращенном виде, уравнения
х = Х{х). (23.7.2)
Решение х, принимающее при t = 0 значение а, может быть представлено в виде (23.1.2):
xr = фг (it; cci, сс2, . . ., ccm), г = 1, 2, . . ., т, (23.7.3)
или, короче,
5с = (р (г; а). (23.7.4)
Если немного изменить начальные условия и от точки а перейти к близкой точке а + б и обозначить через х + у соответствующую точку на траектории в момент t (см. § 23.1), то можно будет написать
y(t) = <f(t; o + 6)-(p(f; а). (23.7.5)
При непрерывном изменении начальных данных решение системы дифференциальных уравнений также изменяется непрерывным образом; поэтому, если t не слишком велико, то I у [t) I мало вместе с I 6 |. Точнее, для всякого положительного числа є можно указать положительные числа х = х (є)