Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 213

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 207 208 209 210 211 212 < 213 > 214 215 216 217 218 219 .. 290 >> Следующая


г= 1,2, п } (23.6.2)

(знак суммы мы для краткости записи опускаем). Величины ars = asr, ?rs, yTs = ysr равны

_ dm _ dm dm _ „.

ага~Ж^7* Prs_^op7' Trs= opTopT' ( }

где после дифференцирования подставляются значения q и р в первоначальном движении.

470

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

[Гл. XXIII

Уравнения (23.6.2) имеют гамильтонову форму, роль переменных q и р играют здесь | и п. Функция Гамильтона имеет вид

1 1

& J Vrslrls + '&rt&rVs + -^УгаЧт^*, (23.6.4)

где, как и вывде, повторяющиеся индексы означают суммирование. Если вектор с составляющими (i1, |2, . . ., |n, Tj1, T]2* • ¦ •, iln) обозначить через g и записать уравнения Гамильтона в форме (22.1.5), то будем иметь

E = ZSS1 = ZSl, (23.6.5)

где Z, как обычно, обозначает матрицу

a S — симметрическую периодическую матрицу размером 2п X In.

Докажем теперь, что если g, х — два независимых решения уравнений в вариациях (23.6.5), то функция

Ф = ?'?х (23.6.7)

сохраняет постоянное значение. В самом деле, производная от этого выражения

cj) = ?'Zx + t'Z* = t'S'Z'Zx + t'ZZSx (23.6.8)

равна нулю, поскольку матрица 8 симметрическая и Z' = — Z. (Развернутое выражение для ф имеет вид

ІЗ (1гГ]г-г]Лг), (23.6.9)

г=1

где i1, |2, . . ., |n, Tj1, Tj2, . . ., Tjn обозначают составляющие вектора ?, a |?, |2, . . ., |„, Hj, T]2, . . ,, T)n — составляющие вектора х.) Итак, функция ф остается постоянной; отсюда следует, что

?'Zx = 6'Ze, (23.6.10)

где 6 и є обозначают соответственно значения g и х при ? = 0.

Возьмем, в частности, векторы ?, х в момент времени t = a. Тогда

g = J?(a)o = Мб, X = .В (а) є = Же, (23.6.11)

где Jf, через которое мы обозначили JR (а), представляет матрицу монодромии фундаментальной матрицы It (t) (см. § 23.4). Из (23.6.10) имеем

VMZMe = o'Ze, (23.6.12)

и так как это справедливо для произвольных значений б, е, то матрица M обладает следующим свойством:

MZM=Z. (23.6.13)

Такая матрица называется симплектической.

Напомним, что все матрицы монодромии имеют одни и те же собственные значения. Если р есть собственное значение симплектической матрицы M (которая является матрицей монодромии фундаментальной матрицы JR (?)), то 1/р также является собственным значением. В самом деле, если р — собственное значение матрицы М, то

I Ж'-pl2n | = 0. • (23.6.14)

Отсюда

I M'ZM — IiZM I = 0, (23.6.15)

S 23.7]

УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ (1)

471

и, следовательно, в силу (23.6.13)

IZ-LiZMj = O. (23.6.16)

В результате получаем

= 0, (23.6.17)

M---I9n

откуда видно, что 1/ц. есть собственное значение матрицы М.

Вспоминая, что Li1. = еа1г, легко приходим к теореме, сформулированной в начале параграфа.

Как мы выяснили в § 23.5, один из характеристических показателей X равен нулю. Теперь мы установили, что все ненулевые показатели встречаются парами: Хг и —A7.. Но так как общее число всех показателей является четным, то нулевых показателей должно быть два. Кроме того, поскольку матрица M вещественная, ее собственным значением, вместе с Li, будет комплексно-сопряженное число Li. В результате получаем, что если К есть характеристический показатель, который не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то % также будет характеристическим показателем. Теорема, таким образом, доказана.

§ 23.7. Устойчивость траекторий (1). Впервые понятие устойчивости было установлено для системы, выведенной из положения равновесия (§ 9.1). В § 9.9 мы это понятие применили при исследовании равновесия гироскопической, системы, а в § 9.6—при исследовании установившегося движения гироскопической системы. Наконец, при изучении уравнений в вариациях (§ 23.1) мы ввели понятие устойчивости движения по первому приближению.

Возникает вопрос: можно ли каким-либо разумным способом обобщить понятие устойчивости на общий случай движения и что следует тогда иметь в виду, говоря об устойчивости движения, а не об устойчивости равновесия?

Напомним, что мы рассматриваем кривые в фазовом пространстве 2п измерений, а не в ге-мерном gr-пространстве. Во- многих случаях невозмущенная исходная характеристика представляет собой периодическую орбиту.

Будем пользоваться обозначениями § 23.1. Рассматриваемые нами орбиты представляют собой траектории уравнений (23.1.1):

хг = Xr (xi, х2, . . ., хт), г = 1, 2, . . ., тгъ, (23.7.1)

или, в сокращенном виде, уравнения

х = Х{х). (23.7.2)

Решение х, принимающее при t = 0 значение а, может быть представлено в виде (23.1.2):

xr = фг (it; cci, сс2, . . ., ccm), г = 1, 2, . . ., т, (23.7.3)

или, короче,

5с = (р (г; а). (23.7.4)

Если немного изменить начальные условия и от точки а перейти к близкой точке а + б и обозначить через х + у соответствующую точку на траектории в момент t (см. § 23.1), то можно будет написать

y(t) = <f(t; o + 6)-(p(f; а). (23.7.5)

При непрерывном изменении начальных данных решение системы дифференциальных уравнений также изменяется непрерывным образом; поэтому, если t не слишком велико, то I у [t) I мало вместе с I 6 |. Точнее, для всякого положительного числа є можно указать положительные числа х = х (є)
Предыдущая << 1 .. 207 208 209 210 211 212 < 213 > 214 215 216 217 218 219 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed