Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Глава XXIV КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 24.1. Контактные преобразования. Движение динамической системы определяет непрерывную группу преобразований фазового пространства (§ 21.3). Эти преобразования переводят изображающую точку из положения
<7l0' </20' • • ч 0TlO-I PiO^ P20-I ¦ • •> .PnCH
занимаемого ею в момент Z = O, в положение
Qu Qz, ¦ ¦ -, qn, Pi, Pi, - ¦ ¦, Рп,
занимаемое в момент Z. Функции, определяющие преобразование, являются решениями уравнений Гамильтона; они имеют вид
Qr = фг (?Ю> Q20, • • •» Чпо'і PiOi Pzoi • • •i Pno'i t)i г = 1, 2, . . ., n,
(24.1.1)
Pr = фп+г (<7l0> </20> • -і QnO'i PlOi PZoi ¦ ¦ ¦, Pno'i ')> = 1, 2, . . ., п.
(24.1.2)
Предполагается, что функции <р принадлежат к классу C2, когда точка ІЯіо, Ч20і ¦ -, Qno'i Pioi Р201 ¦ ¦i Рпо) лежит в некоторой области D1 a J-в интервале времени / (который во многих случаях является бесконечным: —оо < Z < оо). Для краткости мы часто будем писать
qr = фг (д0; /?0; t), Pr = фп+г (q0, р0; *)•
Следует помнить, что мы имеем дело с 2/г-мерным пространством особого рода — пространством п пар переменных (qi, pi), (g2, pz), . . ., (qn, рп). Рассматриваемые преобразования сохраняют меру:
д(дг; Pr) = 1а (24.1.3)
д (Яго; Pro) v
Далее, поскольку левая часть (24.1.3) не обращается в нуль, мы можем разрешить уравнения (24.1.1), (24.1.2) относительно qr0 и рг0 и получить в результате уравнения обратного преобразования:
Qr0 =tyr(q; р; t), г = 1, 2, . . ., п, (24.1.4)
Pr0 = грп+г (q; р; Z), г = 1, 2, . . ., п. (24.1.5)
Уравнения (24.1.1), (24.1.2) определяют оператор Tt (§ 21.3), а уравнения (24.1.4), (24.1.5) — обратный оператор {Tt)'1- В автономном случае, когда H не содержит Z, обратный оператор равен T-t и
гр8 (q; р; t) = ф8 (g; р; -Z), s = 1, 2, . . ., 2п. (24.1.6)
Эти соотношения можно представить в иной форме, что иногда оказывается полезным. Например, мы можем, вообще говоря, разрешить уравнения (24.1.4) относительно р, выразив их через д, д0 и Z. Проделав это, будем иметь
Pr = %r(q; q0; t), г = 1, 2, . . ., п. (24.1.7)
488
КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[Гл. XXIV
Такая операция возможна при условии, что якобиан
дрф!, Ip2,..., грп) д (ри Р2, ¦ ¦¦, Pn)
не равен тождественно нулю. То, что в общем случае такое решение возможно, ясно из того факта, что обычно движение полностью определяется заданием времени и концевых точек в g-пространстве (§ 15.6). Исключая р0 из уравнений (24.1.1), (24.1.2), приходим к уравнениям (24.1.4) и (24.1.7).
Точно таким же образом мы можем, вообще говоря, из уравнений (24.1.5) выразить р через q, р0 и t.
Напомним еще одно фундаментальное свойство преобразования (24.1.1), (24.1.2). Если S = S {q; q0; t) есть главная функция (§ 15.5), то
рг dqT = pro dqr0 + H dt + dS, (24.1.8)
где повторяющийся индекс г означает суммирование от 1 до п. В дальнейшем мы будем предполагать, что функция H (в правой части (24.1.8)) выражена через переменные (g; q0; t) с помощью соотношений (24.1.7). Уравнение (24.1.8) показывает, что преобразование (24.1.1), (24.1.2) таково, что при фиксированном значении t выражение
Pr dqT — Pr0 dqr0 (24.1.9)
представляет полный дифференциал однозначной функции от переменных Wi Яо> t)'i это свойство характерно для преобразований, определяемых уравнениями Гамильтона. Мы будем называть любое преобразование, обладающее этим свойством, контактным преобразованием. Если, в частности, форма (24.1.9) тождественно равняется нулю, то мы будем говорить об однородном контактном преобразовании. (Такое преобразование уже встречалось нам в § 15.8.) Очевидно, что контактные преобразования образуют
группу, и криволинейный интеграл Пуанкаре рТ dqr является инвариантом этой группы.
Таким образом, движение динамической системы в фазовом пространстве порождает контактное преобразование, благодаря чему контактное преобразование и нашло впервые применение в механике.
Из равенства (24.1.8) легко получить формулы для контактного преобразования, определяемого движением заданной динамической ' системы. Сравнивая коэффициенты при вариациях, находим
Pr =
oS
Pr0==
H =
dqr ' oS
dqro oS dt -
(24.1.10)
Эти формулы уже были получены нами в § 15.8 и в § 16.1. Там они определяли решение задачи Гамильтона; здесь же они определяют контактное преобразование. Таким образом, они выражают по существу одно и то же, но с разных точек зрения.
Равенства (24.1.10) получаются из (24.1.8) лишь при условии, что между переменными q, q0 и t нет никакого тождественного соотношения. Но последнее условие, очевидно, выполняется, ибо в противном случае это означало бы существование тождественного соотношения между переменными д0, р0 и t, что невозможно в силу независимости этих переменных. Однако следует иметь в виду, что в иных случаях подобные тождественные соотношения могут иметь место; ниже мы приведем несколько таких примеров.
§ 24.2J
ФОРМУЛЫ КОНТАКТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
489
Рассуждая в обратном порядке, возьмем произвольную функцию S = S (q; q0; t) класса C3; формулы
