Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 212

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 206 207 208 209 210 211 < 212 > 213 214 215 216 217 218 .. 290 >> Следующая


Обратимся к случаю, когда элементы матрицы А постоянны. Мы определили характеристические показатели только для периодической матрицы А. Однако из § 23.3 следует, что если матрица А постоянна, то ее, собственные значения играют в решении уравнений в вариациях такую же роль, что и характеристические показатели в случае, когда матрица А является периодической. Поэтому термином «характеристический показатель» можно пользоваться и в том случае, когда элементы матрицы А постоянны. В задачах, в которых А есть постоянная матрица, характеристические показатели являются ее собственными значениями.

§ 23.5. Нулевые показатели. В задаче о движении в окрестности периодической орбиты один из характеристических показателей всегда равен нулю. (В задаче о движении в окрестности положения равновесия это не имеет места.) В самом деле, так как заданное периодическое движение удовлетворяет уравнениям

хт = Xr, (23.5.1)

то имеем

тп т

хт — 2 Qx Xs ~ 2 arsXs'' (23.5.2)

S=I S=I

и уравнения в вариациях удовлетворяются функциями

Ir = 'хт, г — 1, 2, . . ., т. (23.5.3)

Таким образом, уравнения в вариациях имеют чисто периодическое решение с периодом а, что возможно лишь при условии, если одно из X равно нулю.

Предположим, далее, что исходная периодическая орбита соответствует значению а = 0 в однопараметрическом семействе периодических орбит

жг = /г(4,а), г = 1,2,...,1», (23.5.4)

где т = т (а), а = т (0). Тогда

U(Q + 1, а) =/г(0, а). (23.5.5)

Решение уравнений в вариациях можно получить путем дифференцирования уравнений (23.5.4) по а. Имеем

^ = fn(^,0)-^-tfrl(-^,0), г = 1, 2, т, (23.5.6)

где Jn обозначает производную от /г по г-му аргументу. В этом случае решение, кроме периодических членов, содержит члены вида tcp (t), где ф (і) —

30*

468

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

[Гл. XXIII

периодическая функция. Результаты § 23.4 показывают, что в этом случае два характеристических показателя оказываются равными нулю. (Если т' (0) = = 0, аргументация теряет силу, но результат остается справедливым, так как в этом случае имеются два независмых периодических решения уравнений в вариациях: хт и дхг1да.)

Примером такого однопараметрического семейства периодических орбит может служить семейство круговых орбит в центральном силовом поле с потенциалом V (г). Для этого случая (см. пример 23.2B) имеем

и уравнения движения записываются в виде

Матрица А имеет вид

1

г = Рт, 9 = -^р9,

Pr=^Pl-Vi'), Pe = O.

0 0 10

г3 ® ^ г2

J^-v-M о о A

0 ООО

(23.5.8)

(23.5.9)

где через ? обозначено постоянное значение ре, а через г — значение в момент t в первоначальном движении.

Если первоначальное движение представляет собой вращение по окружности радиуса а с угловой скоростью со, то асо2 = V (а) и ? = а2со = IZa3V (а). Элементы матрицы А при этом постоянны,

0 0 1 0 \

-3T 00-Jr

_3I^-a-F'<(a)0 0^-а ' а

(23.5.10)

0 0 0 0 /

и характеристические показатели вычисляются как корни уравнения

Х2 jva4-3Z!i^!_|_F''(a)j =0. (23.5.11)

Два корня этого уравнения равны нулю, а два других при произвольном а равны нулю в том и только в том случае, если

3 V'^) +V"(a) = 0 (23.5.12)

для всех значений а. При этом

V"(a) = -J?-, (23.5.13)

т. е. притяжение обратно пропорционально кубу расстояния.

Рассмотрим более подробно случай притяжения по закону р/ги, где п — целое число. В этом случае

r I (23.5.14)

и характеристические показатели находятся из уравнения

Xі {Xі + (3 - п) со2} = 0. (23.5.15)

§ 23.6]

УРАВНЕНИЯ B ВАРИАЦИЯХ ДЛЯ СИСТЕМЫ ГАМИЛЬТОНА

469

Для различных значений п имеем:

п = —1 А, = (0, 0, 2гсо, -2іш),

п = 2 К = (О, О, гсо, —im),

п = 3 Я = (О, О, О, 0),

> З X = (О, 0, а, —а).

В последнем случае а — число вещественное и положительное: а = аГ\/ п — 3. Нормальная форма Жордана матрицы А имеет вид:

. -1

п = 3

п ф — 1, п ф 3

¦ ООО -р

где р чисто мнимое, если п < 3, и вещественное, если и > 3.

§ 23.6. Уравнения в вариациях для системы Гамильтона. Если исходные уравнения движения имеют гамильтонову форму и допускают периодическое решение, то два характеристических показателя равны нулю. Кроме того, если ц. есть собственное значение матрицы монодромии, то 1/ц. и ц. также являются собственными значениями. Таким образом, если характеристический показатель X не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то другие характеристические показатели равны —X, X и —X. Если же характеристический показатель X является вещественным или чисто мнимым, то другой характеристический показатель равен —X.

В частности, для системы с двумя степенями свободы характеристические показатели равны (0, 0, а, —а) или (0, 0, ia, —га), где а — число вещественное (см. § 23.5).

Перейдем к доказательству этих важных утверждений. Исходные уравнения, которым удовлетворяет заданное периодическое движение, имеют вид

«'Hl' г =1,2, ...,п. (23.6.1)

Здесь H = H {qi, q2, . . ., qn; pit p2, ¦ ¦ ., pn) 6 C2. Обозначим через qT + + Ir, Pr + f\r координаты и импульсы в возмущенном движении. Уравнения в вариациях запишутся в виде
Предыдущая << 1 .. 206 207 208 209 210 211 < 212 > 213 214 215 216 217 218 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed