Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Обратимся к случаю, когда элементы матрицы А постоянны. Мы определили характеристические показатели только для периодической матрицы А. Однако из § 23.3 следует, что если матрица А постоянна, то ее, собственные значения играют в решении уравнений в вариациях такую же роль, что и характеристические показатели в случае, когда матрица А является периодической. Поэтому термином «характеристический показатель» можно пользоваться и в том случае, когда элементы матрицы А постоянны. В задачах, в которых А есть постоянная матрица, характеристические показатели являются ее собственными значениями.
§ 23.5. Нулевые показатели. В задаче о движении в окрестности периодической орбиты один из характеристических показателей всегда равен нулю. (В задаче о движении в окрестности положения равновесия это не имеет места.) В самом деле, так как заданное периодическое движение удовлетворяет уравнениям
хт = Xr, (23.5.1)
то имеем
тп т
хт — 2 Qx Xs ~ 2 arsXs'' (23.5.2)
S=I S=I
и уравнения в вариациях удовлетворяются функциями
Ir = 'хт, г — 1, 2, . . ., т. (23.5.3)
Таким образом, уравнения в вариациях имеют чисто периодическое решение с периодом а, что возможно лишь при условии, если одно из X равно нулю.
Предположим, далее, что исходная периодическая орбита соответствует значению а = 0 в однопараметрическом семействе периодических орбит
жг = /г(4,а), г = 1,2,...,1», (23.5.4)
где т = т (а), а = т (0). Тогда
U(Q + 1, а) =/г(0, а). (23.5.5)
Решение уравнений в вариациях можно получить путем дифференцирования уравнений (23.5.4) по а. Имеем
^ = fn(^,0)-^-tfrl(-^,0), г = 1, 2, т, (23.5.6)
где Jn обозначает производную от /г по г-му аргументу. В этом случае решение, кроме периодических членов, содержит члены вида tcp (t), где ф (і) —
30*
468
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. XXIII
периодическая функция. Результаты § 23.4 показывают, что в этом случае два характеристических показателя оказываются равными нулю. (Если т' (0) = = 0, аргументация теряет силу, но результат остается справедливым, так как в этом случае имеются два независмых периодических решения уравнений в вариациях: хт и дхг1да.)
Примером такого однопараметрического семейства периодических орбит может служить семейство круговых орбит в центральном силовом поле с потенциалом V (г). Для этого случая (см. пример 23.2B) имеем
и уравнения движения записываются в виде
Матрица А имеет вид
1
г = Рт, 9 = -^р9,
Pr=^Pl-Vi'), Pe = O.
0 0 10
г3 ® ^ г2
J^-v-M о о A
0 ООО
(23.5.8)
(23.5.9)
где через ? обозначено постоянное значение ре, а через г — значение в момент t в первоначальном движении.
Если первоначальное движение представляет собой вращение по окружности радиуса а с угловой скоростью со, то асо2 = V (а) и ? = а2со = IZa3V (а). Элементы матрицы А при этом постоянны,
0 0 1 0 \
-3T 00-Jr
_3I^-a-F'<(a)0 0^-а ' а
(23.5.10)
0 0 0 0 /
и характеристические показатели вычисляются как корни уравнения
Х2 jva4-3Z!i^!_|_F''(a)j =0. (23.5.11)
Два корня этого уравнения равны нулю, а два других при произвольном а равны нулю в том и только в том случае, если
3 V'^) +V"(a) = 0 (23.5.12)
для всех значений а. При этом
V"(a) = -J?-, (23.5.13)
т. е. притяжение обратно пропорционально кубу расстояния.
Рассмотрим более подробно случай притяжения по закону р/ги, где п — целое число. В этом случае
r I (23.5.14)
и характеристические показатели находятся из уравнения
Xі {Xі + (3 - п) со2} = 0. (23.5.15)
§ 23.6]
УРАВНЕНИЯ B ВАРИАЦИЯХ ДЛЯ СИСТЕМЫ ГАМИЛЬТОНА
469
Для различных значений п имеем:
п = —1 А, = (0, 0, 2гсо, -2іш),
п = 2 К = (О, О, гсо, —im),
п = 3 Я = (О, О, О, 0),
> З X = (О, 0, а, —а).
В последнем случае а — число вещественное и положительное: а = аГ\/ п — 3. Нормальная форма Жордана матрицы А имеет вид:
. -1
п = 3
п ф — 1, п ф 3
¦ ООО -р
где р чисто мнимое, если п < 3, и вещественное, если и > 3.
§ 23.6. Уравнения в вариациях для системы Гамильтона. Если исходные уравнения движения имеют гамильтонову форму и допускают периодическое решение, то два характеристических показателя равны нулю. Кроме того, если ц. есть собственное значение матрицы монодромии, то 1/ц. и ц. также являются собственными значениями. Таким образом, если характеристический показатель X не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то другие характеристические показатели равны —X, X и —X. Если же характеристический показатель X является вещественным или чисто мнимым, то другой характеристический показатель равен —X.
В частности, для системы с двумя степенями свободы характеристические показатели равны (0, 0, а, —а) или (0, 0, ia, —га), где а — число вещественное (см. § 23.5).
Перейдем к доказательству этих важных утверждений. Исходные уравнения, которым удовлетворяет заданное периодическое движение, имеют вид
«'Hl' г =1,2, ...,п. (23.6.1)
Здесь H = H {qi, q2, . . ., qn; pit p2, ¦ ¦ ., pn) 6 C2. Обозначим через qT + + Ir, Pr + f\r координаты и импульсы в возмущенном движении. Уравнения в вариациях запишутся в виде