Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
472
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. ххш
и t0 = t0 (г) такие, что если | б | <; х, то для всех t в промежутке (0, t0) выполняется неравенство | у (t) | -< є.
Можно было бы дать такое формальное определение устойчивости движения. Движение называется устойчивым, если конечный интервал (0, tg) можно заменить бесконечным интервалом (0, оо). Если мы примем такое определение, то придем к следующей формулировке: траектория tp (t; а) является устойчивой, если для любого є > 0 можно указать такое положительное х = х (є), что если І б I < х, то I tp (t; а + б) — tp (t; а) | <; є для всех положительных t. Траекторию, удовлетворяющую этому условию, называют устойчивой по Ляпунову.
Если решение (23.7.4) известно не только , - какой-либо одной определенной начальной точки ос, а для всех начальных .очек в некоторой окрестности точки ее, то легко проверить, выполняется ли критерий устойчивости по Ляпунову. Однако в общем случае мы знаем решение (23.7.4) для какого-то одного определенного а, а не для совокупности начальных точек (§ 23.1). Возмущение у (t) определяется как решение уравнений (23.1.4),
уг = YT (уи г/г, . . ., ут; t), г = 1,2, . . ., т, (23.7.6)
принимающее при t = О значение б- Правые части уравнений (23.7.6), как и в (23.1.5), равны
Yr ІУі, У2, ¦ ¦ ¦, Ут, t) = Xr (X1 + уи X2 + 1/2, • • м Хт + ут) —
— ХТ (хи х2, . . ., хт), (23.7.7)
где хТ — известные функции от t, а именно значения координат в невозмущенном движении в момент t. Основной вопрос заключается в следующем: известно, что І б I мало, означает ли это, что | у | также мало при всех значениях ? > О?
Исследуя задачу о спящем волчке (§ 9.9), мы пришли к выводу об устойчивости положения равновесия; это заключение мы вывели из Существования интеграла, имеющего вид определенно-положительной квадратичной формы
от перемепных I, у, z, І, у, z. (В том исследовании рассматривались уравнения Лагранжа, а не Гамильтона и шесть переменных |, у, z, І, у, z играли роль переменных yi, у2, Уг, Уа Уь, Уь-) Подобным же образом, в теории малых колебаний около положения равновесия, в котором потенциальная функция имеет минимум, заключение об устойчивости вытекало из рассмотрения интеграла энергии. Этот интеграл не является определенно-положительной квадратичной формой (за исключением случая, когда коэффициенты в выражении для T постоянны, а потенциал V представляет собой точно, а не приближенно, определенно-положительную квадратичную форму), но обладает некоторыми существенными свойствами такой формы. (Переменные Q1, q2, ¦ ¦ ¦
¦ ¦ •, Qn, Qt, Чг, ¦ ¦ ¦, Qn играют при этом роль уи у2, . . ., ут- Малость
І у I означает малость | q \, а также малость | q |.) В некоторых случаях можно воспользоваться этим же методом и установить устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения, составляя интеграл уравнений (23.7.6), который представляет собой либо определенно-положительную квадратичную форму от переменных г/і, /у2, • • Ут, либо функцию, обладающую основными свойствами такой формы. Можно также распространить эту теорию на случай, когда функции, кроме переменных у}, у2, . . ., ут, содержат еще t, а также на случай, когда функции не являются интегралами уравнений (23.7.6), но монотонно убывают по мере того, как происходит движение.
В дальнейшем мы будем иметь дело с функциями, которые по своим свойствам аналогичны определенно-положительным квадратичным формам. Будем говорить, что функция / (уі, у2, - • ., ут), или, короче, / (у), является
S 23.7]
УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ (1)
473
определенно-положительной функцией, если в окрестности точки у = 0 она принадлежит к классу C1 и обладает следующими свойствами:
1) при г = 0 / (у) = 0; существует положительное число х такое, что если 0 < г ^ х, то f (у) > 0. Здесь и дальше г обозначает | | =
2) можно указать положительное число к такое, что если 0 < сі < с2 ^ А, то поверхность / (?/) = Ci лежит строго внутри поверхности / (у) = с2; обычно при достаточно малых значениях с поверхности / (у) = с являются замкнутыми (т — 1)-мерпыми поверхностями *).
Некоторые свойства определенно-положительных функций вытекают непосредственно из их определения. Обозначим через R = R (/) наименьшее значение г для точек на поверхности / (у) = к; пусть 0 < R ^ х. Выберем число а, удовлетворяющее неравенству 0 < a ^ и обозначим через тпа (/) и Mа (f) соответственно точную нижнюю грань и точную верхнюю грань функции / (у) на сфере г = а. Тогда
0 < Wi0 (/) ^ Af0 (/), и при заданной функции / величины та (/) и Af а (/) являются монотонными функциями от а и стремятся к нулю вместе с а. Если г а, то / (?/) =?! <Afa (/), а если г > а, то / (у) > 7п0 (/). Далее, неравенство / (у) ^ т0 (/) означает, что г =?! а, а неравенство / (?/) ^ >ЛГ0 (/) — что г 2& а. Если изменяется Рис. 101. таким образом, что / (у) 0, то г—»-0.
(Общая картина кривых / (у) = с для случая т = 2 представлена на рис. 101. Сплошными линиями на рисунке показаны кривые с = та (/) и с = Л/0 (/).)
