Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Au (t) + Bv (t), где и = ф (t) — четная функция, a v — нечетная функция;
выражение uv — vu остается постоянным, и путем соответствующего выбора функции г; можно добиться, чтобы эта постоянная равнялась единице. Общее решение уравнения (23.10.5) запишется тогда в виде
t
у = Au (t) + Bv(t)-e j {u(t)v (I) -v(t)u (1)} cos <p (I) sin pi d|. (23.10.6)
0
Если положить A = 0, то правая часть (23.10.6) будет нечетной функцией от t, причем благодаря тому, что v(nlp) Ф 0, мы можем выбрать постоянную В так, чтобы у обращался в нуль при nip (следовательно, также и при —nip). Тогда
у (nip) = у (—п/р), у (nip) = у (—nip),
и поэтому решение является периодическим с периодом 2п1р. Решения ±ф U) + У представляют два вынужденных колебания амплитуды а и являются приближенными (с точностью до членов порядка е) решениями уравнения (23.10.2).
Итак, если п2 — р2 положительно и не слишком мало, то мы имеем три вынужденных колебания: одно малой амплитуды и два колебания с амплитудой, близкой к а.
Хотя мы молчаливо предполагали, что свободные колебания затухают, однако в уравнении (23.10.2) мы не имели члена, указывающего на наличие трения. Важно отметить, что вынужденные колебания амплитуды, близкой к а, сохраняются и тогда, когда имеется малое трение. Если ввести малый линейный член, обусловленный наличием трения, то уравнение примет вид
9* + беё + п2 sin 6 = е cos 6 sin pt, (23.10.7)
§ 23.10]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
483
где положительный множитель 6 не слишком велик. Функция ф (t — t0) имеет период
2я/р и удовлетворяет уравнению ф -f- п2 sin ф = 0. Для того чтобы получить периодическое решение уравнения (23.10.7), близкое к ф (t—t0), необходимо, чтобы
2 я/р
[1 • и 2я/р I*
_82_ra2C0se =е I (6cos8sinрг—682)A.
о
Таким образом, приближенно будем иметь 2я/р 2я/р
Ъ j y4t)dt = j Ф (t) cos ф (t) sin р (t-\-t0) dt. (23.10.8)
о о
Если интеграл в правой части не обращается тождественно в нуль, то (23.10.8) дает как раз два значения t0 при условии, что параметр 6 не превышает некоторого предельного значения; эти два значения соответствуют двум вынужденным колебаниям, амплитуда которых близка к ранее найденной а.
2) Рассмотрим теперь случай резонанса, когда п2 — р2 мало. Записывая уравнение (23.10.2) в форме
0 + p*Q = „2 (Q _ sin 0) _ („2 _ pv) 0 _|_ e cos 0 sin pU (23.10.9)
видим, что нелинейный возмущающий член п2 (0 — sin 0) имеет тот же порядок, что и наибольшая из величин (га2 — р2) 0 и є sin pt. Предположим, что все эти три величины имеют один и тот же порядок; тогда 0 = 0 (є1/3) и п2 — р2 = О (є2/3), и, обозначая є2/3 через и, получаем 0 = О (ч1/2) и п2 — р2 = О (и). Положим п2 = р2 (1 + кг\); подставляя выражения 0 = = Zn1/2 и є = T)3/2 в уравнение (23.10.2) и сохраняя лишь члены первого порядка относительно т), получаем
'z + p2z = p2r\ (-Iz» —*« + -i-sin/tf) . (23.10.10)
В этом уравнении т) мало, но к пе обязательно мало.
При M = O уравнение (23.10.10) имеет решение z = a sin (pt — ф), где а и ф — произвольные постоянные. Если т) =#0, то решение ищется в форме
z = a sin (pt — ф) + 4zi + 4? + • • ., (23.10.11)
где а и ф на этот раз считаются переменными величинами. Эти величины мы найдем сначала с точностью до т), затем с точностью до т)2 и т. д.; одновременно, проводя вычисления с точностью до г), мы определим Z1, проводя вычисления с точностью до T)2, определим Z2 и т. д. Наличие членов вида T)Z1 + T)2Z2 + . . . указывает на нелинейный характер левой части уравнения (23.10.2). Действительно, решение невозмущенного уравнения 0 + -f- п2 sin 0 = 0 можно записать в форме (23.10.11), считая, однако, величины а и ф постоянными. Медленное изменение а и ф связано с наличием возмущающего члена в правой части уравнения (23.10.2).
Если выражение (23.10.11) для z подставить в уравнение (23.10.10), то с точностью до членов порядка т) получим
(2ра — 2аф — ац>) С + (2раф+ a — aq>2)F-+r\ (Z1 + P2Z1) =
= р\ {(-^2- sin ф) С+ (-g-а3 — ka + -jp соэф) S — ^ а3sin 3(pt— <р) j ,
(23.10.12)
где через С и S обозначены соответственно cos (pt — ф) и sin (pt — ф). Уравнение будет удовлетворяться, если
2ра — 2аф — аф=чзіпф, (23.10.13)
.... ^ .
2раф-|-а —аф2 = р2т) (-^аъ — ка-\--^ cos ф| . (23.10.14)
31*
484
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. XXIII
1
-ср).
(23.10.15)
При этом
Z1 + P2Z1 = — -!,j- Р2а3 sin 3 (pi
Уравнения (23.10.13) и (23.10.14) определяют зависимость функций а и ср от времени; их называют уравнениями в вариациях. Как станет ясно дальше, эти уравнения определяют медленные долгопериодические вариации. Уравнение (23.10.15) называется пертурбационным уравнением; оно определяет короткопериодические вариации. Если бы, например, а и ср были постоянны, то уравнение (23.10.15) имело бы решение
^ a3 sin 3 {pt-ц>). (23.10.16)
Z1 = ¦
Производные а и ср имеют порядок и, поэтому, с точностью до величин этого порядка, уравнения (23.10.13) и (23.10.14) можно заменить более простыми:
JL
2р
sin ср,
