Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь случай, когда исходная характеристика является периодической орбитой с периодом а. (Разумеется, если а есть период, то 2а, За, . . . также являются периодами. Обычно, хотя и не всегда, мы будем понимать под а наименьший период.) Элементы ars матрицы А при этом являются периодическими функциями от і с периодом а, так что для всех значений Z имеем
A(t+a)=A(t). (23.4.3)
Если F (Z) — фундаментальная матрица, то таковой будет и матрица F(t-\-а); поэтому существует неособенная матрица M такая, что
F (Z + o) = F(t)M. (23.4.4)
Матрица M называется матрицей монодромии фундаментальной матрицы F(t). Для фундаментальной матрицы JS(Z) матрица монодромии равна R (а); это сразу следует из того факта, что JS(O) = 1т.
Выясним, какова матрица монодромии У другой фундаментальной матрицы G (Z) = F(Z) С. Имеем
G (t + o) = F (Z-fa) С = F (Z) MC= G (QC-1MC(23.4.5)
Следовательно, фундаментальной матрице G (Z) соответствует матрица монодромии
.V = C-1IfC. (23.4.6)
Если M есть матрица монодромии для фундаментальной матрицы, то матрица Ж будет матрицей монодромии для другой фундаментальной матрицы тогда и только тогда, когда JV имеет вид C-1MC Поэтому все матрицы монодромии имеют одни и те же собственные значения и элементарные делители, и все они приводятся к одной и той же нормальной форме Жордана. Собственные значения Ji1, р2, . . ., \іт называют множителями. Ни один из множителей не обращается в нуль, поскольку
H1P2... и™ = I M \Ф0. (23.4.7)
Для нахождения множителей можно воспользоваться матрицей монодромии R (а).
Пусть M — матрица монодромии фундаментальной матрицы F (Z); всегда можно найти матрицу К (не обязательно вещественную) такую, что будет выполняться равенство
M = е*к. (23.4.8)
Если собственные значения матрицы К равные, X2, . . ., X7n, то собственными значениями матрицы M будут еоЛ>, еаХ>,. . ., eoiV"»,
Ux = (23.4.9)
Числа X1, X2, . . ., X7n Пуанкаре называл характеристическими показателями заданной периодической орбиты.
Наиболее важное свойство системы (23.4.2), матрица которой A (Z) периодична с периодом а, заключается в том, что любая ее фундаментальная
30 Л. А. Парс
466
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. XXIII
матрица F (t) может быть представлена в форме P (t) еш, где P — неособенная матрица, элементы которой являются непрерывными периодическими функциями от і с периодом а, а Ж — постоянная матрица.
Таким образом, фундаментальная матрица F (t) представляется в виде произведения периодической матрицы и фундаментальной матрицы для системы уравнений в вариациях с постоянными коэффициентами.
Для доказательства замечаем, что
F(t + a) = F (t) M = F(t) е°к. (23 А. 10)
Положим
P(t) = F(t)e~tK. (23.4.11)
Тогда
P(t + a) = F(t + a) е-(1+°)к = F(t) e~iK = P (t), (23.4.12)
откуда видно, что матрица P (t) является периодической. Эта матрица неособенная, поскольку матрицы F (t) и etK неособенные. Из (23.4.11) тогда получаем, что
F (t) = P(t)etK, (23.4.13)
что и требовалось доказать. Характеристические показатели X1, X2, . . ., X7n однозначно определяются для заданной периодической матрицы Л, но матрица К не определяется матрицей F (t) единственным образом.
Чтобы получить решение в явном виде, следует привести матрицу К к нормальной форме Жордана. Пусть L есть неособенная матрица такая, что
L1KL=J, (23.4.14)
где J—матрица в нормальной форме (23.3.10). Тогда
F(t) = P(t)etK = P(t)etLJL-1 = P(t)LeiJL-x, (23.4.15)
и, следовательно, фундаментальная матрица F (t) L имеет форму
Q(t)etJ, (23.4.16)
где Q (г) есть периодическая матрица P (t) L. Множитель e1J уже был вычислен нами в § 23.3.
Рассуждения упрощаются, если ограничиться рассмотрением случая, когда нормальная форма матрицы монодромии является диагональной. При этом для любой фундаментальной матрицы F (t) будем иметь
/(x1 0 ... 0 \
F (t+a) = F (t) J 0(l2--- 0 j. (23.4.17)
\0 0...1?/
Обозначим первый столбец матрицы F (t) через I1, тогда
I1 (t+o) ^1S1 (О = е0ЛіІі (*), (23.4.18)
и, следовательно,
e-}-^t+a'>li(t-j-a) = e-^tl1(t). (23.4.19)
Таким образом, функция е~^і1%і (t) является периодической с периодом а, и мы можем написать
I1(O = ^14CPi(O, (23.4.20)
где
Фі («+°") = <Pi (0«-
§ 23.5]
НУЛЕВЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ
467
Рассуждая подобно тому, как это мы делали в § 23.3, где рассматривался случай постоянной матрицы^., можно из (23.4.16) установить тип решений для различных случаев. Если все характеристические показатели Хг имеют отрицательные вещественные части, то во всех случаях движение асимптотически устойчиво по первому приближению. (Это следует из того, что если N и к — положительные числа, то tNe~ht -> 0, когда t-*- оо.) Если все показатели X — числа чисто мнимые, а нормальная форма матрицы монодромии диагональна, то движение по первому приближению устойчиво. Если же при чисто мнимых показателях к матрица монодромии не приводится к диагональной форме, то решение содержит члены вида ф (t) tN cos ??, ф (t) tN sin ?? (где ф (t) — периодическая функция с периодом ст), и соответствующее движение не является устойчивым по первому приближению. Наконец, если хотя бы один показатель X имеет положительную вещественную часть, то движение также неустойчиво по первому приближению.
