Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве простого примера для т = 2 можно указать функцию / (i/) = = аг/* + ?z/U, где 0 < а < '?; при этом та (/) = аа2 и Af0 (/) = ?a2.
Распространим теперь понятие асимптотической устойчивости, введенное нами в § 19.5, на случай возмущенного движения. Невозмущенную траекторию X (t) будем называть асимптотически устойчивой, если существует такое положительное число х, что для всех значений б, лежащих в области
1 6 I < х, г 0 при t—>- оо, т. е. возмущенное движение при it-*- оо стремится к невозмущенному движению.
Расширим понятие определенно-положительной функции таким образом, чтобы оно охватывало функции, зависящие не только от уи г/2, . . . . . ., ут, но еще и от it. Будем говорить, что функция g {уі, г/2, . . ., ут; t), или, короче, g (у; t), определенно-положительная, если g (у, 0) является определенно-положительной функцией и если существует определенно-положительная функция h (у) такая, что если г R (h) и t ^ 0, то g {у; t) ^ > h (у).
Вернемся теперь к критерию устойчивости по Ляпунову. Он определяется следующей теоремой и следствиями из нее.
Теорема Ляпунова. Если уравнения (23.7.6) возмущенного-движения допускают определенно-положительный пространственный интеграл / (у), то невозмущенное движение х (і) устойчиво.
Рассмотрим интеграл / (у) = / (б). Выберем какое-нибудь є > 0 и положим с = ms(f). Пусть, далее, х есть положительное число, определяемое равенством с = Мк (/). Тогда, если | б | ^ х, то /(?/)=/ (б) ^ Mx (/) = = тЕ (/) и, следовательно, г ^ є. Теорема, таким образом, доказана.
*) Термин «определенно-положительная функция» иногда применяют к функциям, удовлетворяющим менее жестким условиям, а именно вместо условия 2) накладывают более слабое требование, чтобы малость / (у) влекла за собой малость | у \.
474
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. XXIM
Следствие 1. Если определенно-положительная функция / (у) не является интегралом уравнений (23.7.6), но обладает тем свойством, что функция
т
F(y;t)= (23.7.8)
S=I
положительна при достаточно малых г для всех положительных t, то невозмущенное движение х (t) устойчиво.
При изменении у вдоль траектории, определяемой уравнениями (23.7.6) и начинающейся в точке 6, имеем
¦ZTf(V)=- f (V, t)<0, (23.7.9)
•откуда следует, что / (у) < / (6). Это неравенство справедливо при всех t и заменяет равенство / (у) = / (6). Если | 6 | < х, то
/(?/)</ (о) < тв (/) (23.7.10)
и г ^ є при t > 0.
Следствие 2. Если функции f (у) и F (у; t) являются определенно-положительными, то невозмущенное движение х \f) асимптотически устойчиво. {В следствии 1 функция F [у; t) предполагалась лишь положительной для достаточно малых г.)
Нужно доказать, что существует положительное число х такое, что для любых І б I в области | б | < х г-> 0 при t^- оо. Как мы знаем (см. •следствие 1), существует такое х, что если I б I ^ х, то / (у) непрерывно убывает, когда у перемещается вдоль траектории, определяемой уравнениями (23.7.6), и, следовательно, стремится к пределу L = L (б), где L^O. Предположим, что при некотором частном выборе 6 L > 0. Тогда для всех положительных t f(y) L, и, следовательно, г ^ а, где а — положительное число, определяемое уравнением Mа (/) = L. Пусть h (у) есть определенно-положительная функция, соответствующая F (у; t). Тогда из неравенства г ^ а будем иметь F [у; f) (у) >^ X, где X = та (h) > 0. Таким образом, при перемещении у вдоль траектории, определяемой уравнениями (23.7.6), имеем
/(«/) = /(6)-j Fdt^f(b)-Xt. (23.7.11).
Но это невозможно, поскольку правая часть при достаточно больших значениях t отрицательна. Отсюда следует, что L = 0, т. е. / (у) -> 0 при t-> оо, и, следовательно, г-+0. Невозмущенное движение x(t), таким образом, асимптотически устойчиво.
Распространим теперь теорию на случай функций, зависящих не только от уі, г/г, • • ., Ут, но и от t.
Следствие 3. Если определенно-положительная функция g (у; t) является интегралом уравнений (23.7.6), то невозмущенное движение х (t) устойчиво.
Рассмотрим интеграл g (у; t) = g (б; 0). Существует определенно-положительная функция h (у) такая, что
h(y)^g(y, t) = g(6; 0). (23.7.12)
Функция g [у; 0) определенно-положительная, следовательно, можно указать такое положительное число х, что если | б | =?! х, то g (б; 0) ^ тв (h). Тогда в течение всего движения
h (у) < тв (h), (23.7.13)
•откуда следует, что г ^ є.
§ 23.7]
УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ (1)
475
Следствие 4. Если определенно-положительная функция g (у; t) такова, что
т
G(I,; + 2*-'-?-) (23.7.14)
положительно при всех достаточно малых г для всех положительных t, то невозмущенное движение X (t) устойчиво.
В этом случае функция g (у; і) постоянно убывает, когда у перемещается вдоль траектории (23.7.6), и мы приходим к тому же результату, что и в следствии 1.
Наконец, произведем простое обобщение следствия 2, приводящее к критерию асимптотической устойчивости. Этот критерий требует наложения дополнительного ограничения на определенно-положительную функцию g (у; t). Любая определенно-положительная функция / (у) обладает тем свойством, что, как бы мало ни было є > 0, существует такое положительное я = х (є), что если г •< х, то / {у) < е. Правда, в общем случае это утверждение неверно *), однако мы будем рассматривать только такие функции g (у; t), которые обладают указанным свойством для всех t, т. е. функции, для которых неравенство г <; х влечет за собой g (у; і) <.е для всех t. Если определенно-положительная функция обладает этим свойством, то говорят, что она имеет бесконечно малую верхнюю грань.
