Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если г4 < Hb, то F > 0; внутри круга г2 = 1/(2Ь) функция F определенно-положительна. (Записывая F в полярных координатах, будем иметь
F = 2г2 (а cos2 Є + ? sin26) (1 — г2 (а cos29 + Ь sin29)} (23.7.35)
и
-^y= 2 (а cos2 Є+ ? sin2 Є) {1 -2г2 (а cos2 Є + 6 sin2 Є)}. (23.7.36)
Если
1
г2< 2 (а cos2 Є+Ь sin2 Є) » (23.7.37)
та dF/в (г2) > 0. Неравенство (23.7.37) выполняется для всех 6, если г2 < 1/(26).) Невозмущенное движение X (t) асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова (см. следствие 2).
На первый взгляд может показаться, что понятие устойчивости по Ляпунову является естественным обобщением устойчивости, рассматривавшейся нами для положения равновесия (которое можно трактовать как вырожденную характеристику). Но для классической динамики это понятие оказывается не всегда пригодным, поскольку оно связано со слишком сильными требованиями, накладываемыми на систему. Правда, выше мы привели несколько примеров, для которых имеет место устойчивость в указанном ¦смысле, однако даже для весьма простых систем, для которых интуитивное представление об устойчивости не вызывает сомнений, критерий устойчивости по Ляпунову не выполняется. Рассмотрим, например, частицу, движущуюся прямолинейно в силовом поле. Согласно определению устойчивости по Ляпунову движение в однородном поле неустойчиво; это же относится и к обычному либрационному движению (если не считать некоторых тривиальных исключений, таких, как колебания гармонического осциллятора). Если однородное поле имеет направление вдоль оси Ох, то невозмущенной характеристикой, проходящей через начальную точку (а, и), будет
X = a + ut +у et2, у = иЛ et, (23.7.38)
где у обозначает х, а с > 0 — постоянное ускорение поля. Если через х'', у' ¦обозначить координаты точек возмущенной характеристики, проходящей через близкую начальную точку [а + б4, и + б2), то будем иметь
Jf-X = St + бо/, у' - у = бг. (23.7.39)
478
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
[Гл. ХХШ
и I ф it; а + 6) — ф (г*; а) | будет стремиться к бесконечности вместе с t всегда, за исключением случая б2 = 0.
В случае либрационного движения период возмущенного движения (которое также является периодическим) в общем случае отличается от периода невозмущенного движения, так что I X (t; а + б) — х (t; а) | не может все время оставаться малым, и, стало быть, и | tp (t; а + б) — ф (t; а) | не будет малым. В других, менее простых случаях (например, в ограниченной задаче трех тел, см. гл. XXVIII) лишь очень немногие характеристики оказываются устойчивыми по Ляпунову,
§ 23.8. Устойчивость траекторий (2). Поскольку понятие устойчивости по Ляпунову не является исчерпывающим для задач классической динамики, мы будем пользоваться другим определением устойчивости. Существует много различных определений, одно из простейших состоит в следующем: траектория С (в фазовом пространстве) устойчива, если траектория С, начинающаяся в точке фазового пространства, достаточно близкой к начальной точке траектории С, такова, что всякая точка траектории С находится вблизи от некоторой точки траектории С. Это условие является более слабым, нежели предыдущее, поскольку хотя здесь и требуется, чтобы точка Ф (t; а + б) на траектории С была близка к некоторой точке траектории С, однако эти точки не обязательно должны проходиться в один и тот же момент времени. Устойчивость такого типа принято называть орбитальной устойчивостью .
Критерий орбитальной устойчивости можно выразить в следующих формах.
1) Характеристика tp (t; а) устойчива, если для заданного є > 0 существует положительное число х = х (є) такое, что если І б I < х, то всякому положительному числу г* можно поставить в соответствие такое положительное t' = t' (t; б), что
2) Обозначим через d (у, С) расстояние точки у от положительной полухарактеристики С (иными словами, d — точная нижняя грань расстояний точки у от точки у' на кривой С). Характеристика С, составленная из точек ф (t; а) для t 0, устойчива, если для всякого заданного є > 0 можно указать такое положительное к, что d (ф (г"; а + б), С) < є для всех положительных значений t, если | б | < х.
Рассмотренные выше движение в однородном поле и либрационное движение являются устойчивыми в указанном смысле. Рассмотрим движение в однородном поле; введем новую независимую переменную f (считая
и орбитальная устойчивость очевидна. Нетрудно провести формальное доказательство и для либрационного движения, но еще проще воспользоваться непосредственными геометрическими соображениями. В исходном либра-
ционном движении траектория в плоскости ху (где у = х) является простой замкнутой выпуклой кривой, симметричной относительно оси Ox (см. рис. 74)г траектория же в возмущенном движении представляет замкнутую выпуклую кривую, почти совпадающую с первой, так что, орбитальная устойчивость очевидна.
ф(і; а + 6) — ф(?'; а)|<е.
(23.8.1)
y(t; а+ б)-у (*'; о) = 0,
(23.8.3)
(23.8.2)
§ 23.9]
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТ
479>
Другим примером может служить круговая орбита в поле ньютоновского притяжения. Легко видеть, что траектория (в фазовом пространстве) неустойчива в смысле Ляпунова, но обладает орбитальной устойчивостью.
