Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
T0-T = R0. (14.7.9)
Здесь T0 есть кинетическая энергия в момент, непосредственно предшествующий наложению связи, T — кинетическая энергия сразу после наложения
2mW2-y2^2 = y Jm(U-U0)2 (14.7.8)
252
ТЕОРИЯ УДАРА
[Гл. XIV
связи, a R0 — кинетическая энергия потерянных скоростей, равная
Яо =у Ет^-"о)2- (14.7.10)
Интересно отметить, что теорему Карно можно вывести из двух предыдущих теорем. Пусть JP0 — система импульсов, сообщающая покоившейся системе движение со скоростью и0, a P'— система импульсов сил реакции при наложенной связи. Если импульс P' будет приложен к покоящейся системе, то он вызовет относительное движение со скоростью и —и0, и энергия этого движения будет равна 2 P' " ^'• Приращение же энер-
Sn, U-J-U0 P' —что отличается от предыдущем
величины лишь знаком, так как согласно (14.3.8) S /•'n = 0.
Следует остановиться на одном обстоятельстве, которое может вызвать недоразумения. Мы видели в § 14.5, что движение непосредственно после наложения связи определяется из условия минимума величины
С другой стороны, согласно теореме Карно потеря энергии равна
1 ^
у 2j т (И— "О)2-
Но отсюда совсем не следует, что движение в момент tt -f 0 таково, что потеря энергии минимальна.
3) Выигрыш энергии при наложении связи второго типа. При наложении такой связи энергия системы возрастает на величину, равную энергии приобретенных скоростей. Имеем
2 т (и — и0) U = 0. (14.7.2)
Это равенство справедливо (§ 14.4) для любой системы скоростей С, допустимой непосредственно перед наложением связи, т. е. в момент ti — 0. В частности, можно взять JJ = и0. Тогда будем иметь
2 ти0 (и — U0) = 0. (14.7.11)
Аргументы, аналогичные (14.7.7), показывают, что
T — T0 = R. (14.7.12)
Справедливость теорем 2) и 3) очевидна непосредственно из тривиальных примеров связей первого и второго типов, приведенных в § 14.2.
4) T е о р е м а Бертрана*). Предположим, что система, первоначально находившаяся в покое в некотором положении, приводится в движение заданной системой импульсов. Повторим мысленно этот эксперимент при тех же условиях, но с той лишь разницей, что теперь систему подчиним дополнительным (конечным) связям. Согласно теореме Бертрана, энергия Т{ системы во втором случае меньше энергии T системы в первом случае на величину энергии потерянных скоростей (т. е. скоростей и — щ).
*) Эту теорему обычно называют теоремой Бертрана, хотя установить теперь происхождение этого названия не так-то легко. Ее называл так еще Штурм (Comptes Rendus, XIII, 1841, стр. 1046). Штурм показал, что теоремы Карно и Бертрана, по существу, выражают одно и то же. Тоорома Кельвина приводится в «Proc. Royal Society of Edinburgh», 1863, стр. 113, и в книге Томсона и Тэта «Natural Philosophy», 1912, стр. 286. Теорема о том, что выигрыш энергии в теореме Кельвина превышает потерю энергии в теореме Бертрана, принадлежит Тейлору: G. I. T а у 1 о г, Proc. London Math. Soc, Series 2, Vol. 21, стр. 413.
§ 14.7]
катастатическая система. шесть теорем об энергии
253
Из (14.7.1) следует, что
2 muU = S PU, (14.7.13)
^mU1U = ZPU. (14.7.14) Оба эти уравнения справедливы при U = U1. следовательно.
2 тщ (и — U1) = 0. (14.7.15) Учитывая (14.7.7), получаем
T — T1 = R1 > 0. (14.7.16)
Формулируя эту теорему, мы предполагали, что во втором опыте удар прикладывается к системе, на которую наложены конечные связи. Однако результат будет тем же самым, если импульсивная связь первого типа накладывается одновременно с ударом. Это обстоятельство позволяет трактовать теорему Бертрана как видоизменение теоремы Карно. В самом деле, в теореме Карно система приводится в движение заданными импульсами, а импульсивная связь первого типа накладывается сразу же после ,этого. В теореме же Бертрана (в условиях второго опыта) можно считать, что связь первого типа накладывается одновременно с приложением импульсов. В обоих случаях результат один и тот же, поэтому и содержание обеих теорем одинаково.
Теорему Бертрана иногда формулируют для двух условий эксперимента, соответствующих различным связям. Но результаты при этом не независимы: система, на которую наложено меньше связей,— это просто «система», какой она является в первом эксперименте приведенного выше доказательства.
5) Теорема Кельвина. Предположим, что система, находившаяся в заданном положении в покое, приводится в движение ударными импульсами, приложенными в определенных точках; скорости (но не импульсы) в точках удара будем считать заданными. Теорема Кельвина устанавливает, что при этих условиях энергия системы меньше, чем в любом другом движении, при котором указанные точки имеют заданные скорости.
Согласно (14.7.1) имеем
2 muU = 2 PU. (14.7.17)
Обозначим через M2 любую другую систему скоростей, при которой указанные точки имеют заданные значения скорости. Полагая U = U — и2, находим
2 ти (и — U2) = 2 P (и — U2). (14.7.18)
Правая часть этого равенства равна нулю, так как P обращается в нуль всюду, где разность (u — U2) отлична от нуля. Поэтому
