Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
A6 = y2m(Aw)2>0' (14.5.3)
если только Aw=^O.
Наиболее важным является случай, когда на систему наложены связи первого типа; для этого случая теорема утверждает, что выражение
© = у2т("-"о)2 (14.5.4)
имеет минимум при истинном значении скорости и в классе скоростей, возможных для системы с наложенными связями.
Подобно аналогичной теореме § 4.3, доказанная теорема дает более чем достаточную информацию для решения поставленной задачи; условия стационарности функции © приводят к системе линейных уравнений относительно составляющих вектора и.
В качестве простого примера рассмотрим следующую задачу.
Пример 14.5. Четыре однородных стержня, массы M и длиной I каждый, шарнирно соединены друг с другом своими концами и образуют раму; две противоположные вершины этой рамы соединены легкой нерастяжимой струной длиной Iy^ 2 (так что, когда струна натянута, рама имеет форму квадрата). Система движется по гладкой горизонтальной плоскости. Первоначально струна не натянута, но в момент Z1 она натягивается. Требуется определить движение системы непосредственно после приложения импульса.
Кинетическая энергия одного стержня равна -g- M (и2+ и-v +v2 +
+ Зш2), где векторы uhv представляют собой составляющие скорости концов стержня по направлениям, перпендикулярным к стержню, a w — скорость вдоль стержня.
(14.5.2)
.250
ТЕОРИЯ УДАРА
[Гл. XIV
В рассматриваемой задаче скорости вдоль стержней обозначим через и, и, w, X (рис. 44). Тогда кинетическая энергия стержня AB будет
равна
.10 С
6
M(U2 — uw + w2 + 3v2).
(14.5.5)
Написав соответствующие формулы для других стержней, получим
& = ^М{5 (и — U0)2+ 5(V-V0)2+ 5 (W-W0)2+5 (х-
— X0)2 — 2 (и — и0) (w —W0) —2 (V-V0) (х — х0)}, (14.5.6)
Ряс. 44.
где и0, v0, w0, X0 — значения скоростей непосредственно перед моментом натяжения струны. Уравнение связи запишется в форме
и — и +w — x = 0. (14.5.7)
Условия стационарности функции ? при наличии связи (14.5.7) дают
Ъи — w — (5и0 — W0) = X, ^ 5v — X — (5г;0 — х0) = — X, 5w — и — (5w0 — и0) = X, 5х — V — (5х0 — V0) = —X.
(14.5.8)
Отсюда находим
1
и —U0 = W-W0 =-7-Х,
V — V0 = X — X0-
¦X,
(14.5.9)
где
X = — (и0 — V0 + W0 — X0).
(14.5.10)
§ 14.6. Катастатическая система. Теорема о суперпозиции. Предположим, что положение и скорость системы заданы. Пусть система импульсов P1 сообщает ей скорость M1, а система импульсов P2—скорость м2. Требуется найти скорость M3 при одновременном приложении обеих систем импульсов P1 + P2.
Уравнения (14.4.2) дают (мы пользуемся сокращенными обозначениями)
(14.6.1) (14.6.2) (14.6.3)
Эти уравнения удовлетворяются при одних и тех же значениях jj, а именно при скоростях, возможных в системе в ее положении в момент ty. Отсюда следует, что для одних и тех же значений jj
^m(U1-U0)U = 2 P1U, ^Tn(U2-U0) U = 2 P2U, 2 тп (и3 - U0) U = 2 (P1 + P2) U.
2 тп (U1 + и2
U3) U = O.
(14.6.4)
Следовательно,
U3 = U1 + U2 — и0. (14.6.5)
Наиболее важным является случай, когда система первоначально находилась в покое. Тогда
U3 = U1 + и2, (14.6.6)
так что суперпозиция импульсов влечет за собой суперпозицию скоростей.
§ 14.7]
КАТАСТАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА. ШЕСТЬ ТЕОРЕМ ОБ ЭНЕРГИИ
251
§ 14.7. Катастатическая система. Шесть теорем об энергии. Рассмотрим теперь ряд изящных теорем, касающихся кинетической энергии системы при действии на нее ударных импульсов. В сокращенных обозначениях основные уравнения (14.4.3) и (14.4.4) записываются в виде
Jm(u - и0) U = J PU, (14.7.1)
2 тп (и — и0) U = 0. (14.7.2)
1) Приращение энергии системы без импульсивных связей. Имеем
Jm(u-u0) U = J PU, (14.7.1)
где U — любая система скоростей, возможная в момент J1. К ней принадлежат, в частности, векторы U0 и и, а также вектор Xu0+[iu. В частности, мож-
но взять вектор U = у (и+ «о), тогда получим
^Jm(u-u0)(u+u0)=JP^±^, (14.7.3)
или
T -1
1o — ^
2ти2-т2тно=2р-?^2-- <14-7-4)
Приращение кинетической энергии равно сумме скалярных произведений каждого импульса на среднее арифметическое скоростей точки его приложения непосредственно перед приложением импульса и после него.
В частности, если система первоначально находилась в покое, то сообщенная ей энергия равна у 2 Pu, или, если суммирование производить по частицам,
Y S (Pu+Qv +Rw). (14.7.5)
2) Теорема Карно о потере энергии при наложении связи первого типа. При наложении такой связи потерянная энергия равна энергии потерянных скоростей. Потерянной скоростью частицы называется векторная разность ее скоростей до и после наложения связей. Имеем
2^ (и - U0)U = 0. (14.7.2)
Это равенство справедливо (§ 14.4) для любой системы скоростей 77, допустимой непосредственно после наложения связи, т. е. в момент J1 + 0. В частности, можно взять U = и, тогда будем иметь
Jmu (и — U0) = 0. (14.7.6)
Но
и (и — U0) = у {и2 — и2 + (и— U0)2}, (14.7.7)
так что (14.7.6) равносильно равенству
J_ 2
или
