Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
2 ти (и — U2) = 0 (14.7.19)
и, следовательно,
T2 - T = R2. (14.7.20)
Замечание 1. Теорема остается в силе и тогда, когда направление удара в каждой точке, где он прилагается, задано, а также задана составляющая скорости вдоль этого направления. В самом деле, при этом условии скалярные произведения Pu + Qv + Rw и Pu2 -f- Qv2 + Rw2 в каждой точке удара одинаковы, откуда и следует теорема.
Замечание 2. Теорема легко обобщается на случай, когда система в начальный момент не находится в покое. В этом случае имеем
^т(и - щ) {и — и2) = 0. (14.7.21)
что можно переписать в виде
2 т (и —U0) {(и — U0) — (м2 — U0)} = 0. (14.7.22)
254
ТЕОРИЯ УДАРА
[Гл. XIY
Обычным путем находим
T2mK-«o)*-TEm(u_uo)a=:T2 ™(u-u2)2>0. (14.7.23)
Теорема утверждает, что энергия потерянных скоростей при действительном движении минимальна.
Замечание 3. Теореме Кельвина можно придать форму, весьма близкую к теореме Бертрана. Для этого приведем рассматриваемую свободную систему в движение, задав соответствующим точкам определенные скорости. Пусть приобретенная энергия системы будет равна T1. Затем повторим мысленно эксперимент, на этот раз с системой, на которую наложены связи. Приобретенную энергию системы в этом случае обозначим через T2. Тогда будем иметь T2 > Ti. Наложение связи увеличивает энергию системы.
Связь между теоремами Бертрана и Кельвина можно продемонстрировать на следующем простом примере. Предположим, что стержень AB, первоначально находившийся в покое, приведен в движение ударом, перпендикулярным к стержню в точке В. Повторим этот опыт при условии, что точка С стержня закреплена неподвижно. Если удар в точке В в обоих опытах будет одним и тем же, то наложение связи уменьшит энергию стержня. Если же в обоих опытах будет одинакова скорость в точке В, то наложение связи увеличит энергию. (Если точка С находится близко от точки В, то выигрыш в энергии при одной и той же скорости в точке В может быть весьма большим.)
Важно отметить, что связи, упоминаемые в замечании 3 к теореме Кельвина, не вполне произвольны: они должны согласовываться с заданными скоростями соответствующих точек. Фиксирование одной из таких точек может служить простым примером запрещенных связей.
6) Теорема Тейлора о связи между теоремами Бертрана и Кельвина. Произведем мысленно три опыта: а), Ь) и с). В каждом из них будем предполагать, что в начальный момент система находится в покое в некотором заданном положении.
а) В некоторых точках системы прикладываются ударные импульсы, сообщающие системе кинетическую энергию Т.
б) Система подчинена связям и подвергается действию тех же ударных импульсов, что и в опыте а). Приобретенная кинетическая энергия системы в этом случае пусть будет равна Ti. По теореме Бертрана T — T1 = Rx "> 0.
с) Система подчинена тем же связям, что и в случае Ь), и к тем же точкам, что и в случае а), прикладываются ударные импульсы такие, что скорости этих точек становятся равными тем, что были в случае а); иными словами, эти точки получают такое же движение, как в случае а). Согласно теореме Кельвина T2 — T = R2 > 0.
Теорема Тейлора утверждает, что R2 > Ri, т. е. что энергетический выигрыш в теореме Кельвина больше, чем потеря энергии в теореме Бертрана. Для доказательства достаточно заметить, что в уравнениях (14.7.13) и (14.7.14), используемых при доказательстве теоремы Бертрана, можно положить TJ = и2, равно как и TJ = U1, при этом получаем
2 та (и — щ) (и2 — U1) = 0. Это уравнение можно записать в форме
2 та (U1 — и) {{щ — и) — (u2 — u)} = 0, после чего обычным путем (см. (14.7.7)) находим
Ri — + Ri2 = 0,
(14.7.26)
(14.7.24)
(14.7.25)
(14.7.27)
§ 14.81
ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ И КВАЗИКООРДИНАТЫ
255
Отсюда получаем
R2-R1= R12 > 0, (14.7.28)
что и требовалось доказать.
§ 14.8. Лагранжевы координаты и квазикоординаты. До сих пор при
изложении теории удара мы пользовались исключительно декартовыми координатами, подобно тому как это делалось в гл. I — IV при изложении теории в случае конечных сил. В этом параграфе введем координаты более общего типа. Ими могут быть как лагранжевы координаты, так и квазикоординаты. В теории удара можно свободно пользоваться квазикоординатами, подобно тому как мы пользовались ими в уравнениях Гиббса — Аппеля. Имеем
h
dxr= arsdqs + ardt, r=i, 2, N, (12.2.6)
S=I
где к — число степеней свободы системы (или, в задачах со связями первого типа, число степеней свободы до момента наложения связи). Уравнения (12.2.7) в теории удара не требуются. Из уравнений (12.2.6) получаем
Ur= 2 ocrsws + ar, r = l, 2, . .., N, (14.8.1)
S=I
где сог — составляющая скорости qT. Из (14.8.1) находим
ft
Аит = 2 «rsAcos, (14.8.2)
S=I
ft
ur — ur0= 2 <*rs (ws — cos0), (14.8.3)
S=I
причем коэффициенты ars считаются теперь постоянными. Обратимся к основному уравнению (14.3.6):
п п
2 mr(ur — Un) &иТ= 2 рг&ит. (14.8.4)
Г= 1 т— 1
Правая часть этого уравнения равна
