Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
где
T=i т=1 т=)-\-1
K = T(lib^YI{ _j л'ь?)* (14.11.38)
T=i !•=3+1
Легко убедиться, что К >• 5. В самом деле,
(2^?)(__Ьгаг)2 tf_Z? = i--I=--^-. (14.11.39)
( S Arbf) ( S ^?)
г= 1 г—;+1
Пример 14.НЕ. В заключение рассмотрим пример связи второго типа. Возьмем ферму, состоящую из четырех одинаковых стержней (пример 14.5), и предположим, что сначала она двигалась как твердое тело. Если угол
1 *
ADC обозначить через 0, то в момент ti — 0 будем иметь 8 = -5- я, 9 = 0.
. —¦
Пусть, далее, в момент tt величина 0 внезапно получает значение ср; можно предположить, например, что толчок производит насекомое (массой которого можно пренебречь), сидящее на раме в точке D. В обозначениях примера 14.5 уравнения импульсивной связи запишутся в виде
и— v + w — х = 0, t = t< — 0, T
1 і * / , n \ (14.11.40)
u—v+w — x=lq>, t = tt+Q. J v
Соотношение 69? = 0 будет справедливо для вариаций, связанных условием
6и — Ov + Ow — ох = 0. (14.11.41)
Уравнения (14.5.8) также соблюдаются. Учитывая уравнения (14.11.40), получаем
Jt = /ср. (14.11.42)
Окончательно находим
U — U0 = W — W0 = ~ Zcp, ^
1 І (14.11.43)
V — V0 = X-X0= —=-1<р. J
Выигрыш в энергии равен энергии приобретенных скоростей (§ 14.6,
п. 3) =¦ М1\2, что, впрочем, легко получить и непосредственно.
Рассмотренная задача в известном смысле является обратной по отношению к задаче, разобранной в примере 14.5. Там мы имели связь первого
типа и величина 0 резко убывала от ср0 Д° нуля, здесь связь принадлежит
ко второму типу и значение 0 резко увеличивается от нуля до ср.
§ 14.12. Импульсивное движение непрерывных систем. Мы уже высказывали точку зрения, что основное уравнение для случая конечных сил при-ложимо к непрерывным системам; в § 3.9 это положение было проиллюстрировано на конкретных примерах. Эта точка зрения основывалась на физических соображениях.
Здесь мы выскажем аналогичное предположение о том, что основное уравнение (14.3.6) теории удара сохраняет силу и для непрерывных систем,
$ 14.12]
ИМПУЛЬСИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
265
с той лишь разницей, что там, где это нужно, суммирование заменяется интегриров анием.
Рассмотрим некоторые примеры.
1) Несжимаемая жидкость. Рассмотрим однородную идеальную несжимаемую жидкость. Пусть имеются внутренние и внешние границы. Границы либо представляют собой твердые поверхности, либо являются деформируемыми; в последнем случае изменение их должно происходить таким образом, чтобы ограничиваемый ими объем оставался неизменным. Если движение границ в некоторый момент Z1 претерпевает разрыв (например, если жидкость находится в покое в замкнутом сосуде и этому сосуду внезапно сообщается резкий толчок), то движение жидкости также будет разрывным. Задача заключается в том, чтобы определить мгновенное изменение движения.
Обозначим составляющие вектора скорости q относительно неподвижной прямоугольной системы координат через и, и, w, а (постоянную) плотность жидкости -г- через р. В жидкости устанавливается импульсивное давление со, подобно тому как в системе с конечным числом степеней свободы возникают импульсы связей. Основное уравнение (14.3.6) принимает вид
? р {(и — щ) Au + (v — V0) Av+ (W-W0) Aw} йт = — j со Aqn dS. (14.12.1)
Объемный интеграл берется по всему пространству, занятому жидкостью, а поверхностный интеграл — по ограничивающим поверхностям. Через qn обозначена составляющая скорости вдоль внешней нормали. Символ А обозначает конечное (не бесконечно малое) приращение, возможное в момент Z1 + 0. Если направляющие косинусы внешней нормали обозначить через I, т, п, то правую часть уравнения (14.12.1) можно представить в виде
— J со (I Аи+т Av + n Aw) dS = — j" Au + -^j-Av + ¦^ Aw^j dr —
Второй член правой части равенства равен нулю, так как div q = = div (q + Aq) = 0. Из уравнений (14.12.1) и (14.12.2) получаем
J {[р("-мо) + -Цг] Ди+[р (P-P0)+-^] a^ +
+ [р (^-Щ) + ~\ Aw} йт = 0. (14.12.3)
Это равенство справедливо для произвольных значений Aq, удовлетворяющих условиям div Aq = 0, Aqn = 0. Таким образом,
P(It-U0)= _ — ,
р(„_1,0)= __,
. cto
P(CO-^0)= —жг-
(14.12.4)
dz
Мы получили уравнения импульсивного движения жидкости. Если в момент Z1 — 0.движение было безвихревое, то оно будет безвихревое и в момент Z1 -f- 0. Движение, начинающееся из состояния покоя, является безвихревым, так что Q = — grad ср. Импульсивное давление со связано с потенциалом скоростей возникшего движения соотношением
ю = рср. (14.12.5)
266
ТЕОРИЯ УДАРА
[Гл.' XIV
Все эти выводы справедливы лишь для классического случая идеальной несжимаемой жидкости.
Некоторые хорошо известные теоремы классической гидродинамики, доказываемые обычно с помощью формулы Грина, легко могут быть получены из общих теорем теории удара. Предположим, что движение начинается из состояния покоя от резкого толчка жестких границ. Энергия системы при этом будет равна (§ 14.7, п. 1)
dS.
