Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
-L(PrOqJ = OL. (15.4.2)
так что для замкнутой кривой у получим
¦§pr8qr = 0. (15.4.9)
Криволинейный интеграл с^) pr&Qr сохраняет свое значение, когда криваяу движется описанным выше образом. Движению кривой в а-пространстве соответствуют возможные движения механической системы. Этот результат имеет сходство с известными теоремами классической гидродинамики о сохранении циркуляции скорости.
d dt
18 л. а. Парс
274
ШЕСТАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
[Гл. XV
Полученный результат интересен еще с одной точки зрения. Каждая точка простой замкнутой кривой Г0 фазового пространства (§ 15.2) является началом определенной траектории, выходящей из нее в момент Z = 0. Изображающие точки, взятые на этих траекториях в момент Z, составляют замкнутую кривую Г, полностью определяемую заданной кривой Г0. Значение криволинейного интеграла pTdqr, взятого по кривой Г, остается постоянным.
Этот интеграл называют интегральным инвариантом уравнений, описывающих движение системы, в данном случае уравнений Гамильтона. Сказанное справедливо только для интегралов, взятых по замкнутой кривой; в этом смысле интегральный инвариант называют относительным. Речь идет об известном интегральном инварианте Пуанкаре. Существование этого интегрального инварианта выражает фундаментальное свойство гамильто-новых систем. В дальнейшем, при более детальном рассмотрении уравнений Гамильтона, мы дадим более подробный анализ этого, а также других интегральных инвариантов.
§ 15.5. Главная функция. Введем теперь так называемую главную функцию Гамильтона *). Идея главной функции подсказана методами, применяемыми в геометрической оптике. Главная функция позволяет получить динамически возможные движения системы.
и
В явной форме главная функция S представляет собой интеграл ^ L dt,
to
взятый вдоль действительной траектории (т. е. вдоль пути в ^-пространстве, удовлетворяющего уравнениям движения) и выраженный через начальные и конечные значения координат, а также начальное и конечное значения времени:
S = S (с/10, с/ген • • •i 9reoi <7н> <72i> • • •> Япи Z0, Z1), (15.5.1)
или, короче,
S = S {qr0; grt; Z0, Z1). (15.5.2)
Чтобы построить главную функцию, можно поступить следующим образом. Допустим сначала, что нам удалось найти интегралы уравнений движения Лагранжа, так что каждая координата qr является известной однозначной функцией от п переменных qr0,
п переменных w7-O, а также моментов времени (0 и ( (через <utQ мы обозначили значение qr в момент *о)- Итак, пусть известны функции
¦" qs = <Ps (qroi fflr0; t0, t), s = 1, 2, . . ., n. (15.5.3)
Теперь можно выразить функцию L через 2п + 1 параметров (qr0; шг0; *0) и переменную Взяв интеграл от этой функции в пределах от tg до tt, выразим его через п параметров qr0, п параметров сог0 и t0 и t4:
»1
j Ld« =2 (?го; «го-. *о> h)- (15.5.4)
'о
Рассмотрим точку J11, 521, • • •, qnu достигаемую в момент . Имеем
qSi = q>s (qro; шг0; '0, h), s = 1. 2, ..., п. (15.5.5)
С помощью этих уравнений можно исключить сог0 из (15.5.4), выразив их через qTi. Проделав это, получим искомую функцию S:
2(?го; шго; 'о, «i) = ?(3h>; яп; *о. h)- (15.5.б)
Мы видим, что O)7-O играют лишь вспомогательную роль и не фигурируют в окончательном результате. Для этой же цели можно было бы использовать любую другую подходящую систему параметров (например, п величин рг0 или corl). В результате мы пришли бы к одной и той же функции S независимо от того, какой системой параметров пользовались при ее составлении. Тем не менее для конкретности мы будем в дальнейшем счи-
*) Главная функция была введена впервые во второй известной работе Гамильтона [16] в .1834 г.
§ 15.6]
ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГЛАВНОЙ ФУНКЦИИ
275
тать, что функция S построена описанным выше способом. Отметим, что если функпия L
не зависит явно от t, то q и q являются функциями от разности (t — t0) и t0 и tt входят в выражение для S только в виде разности (^1 — t0).
Выясним теперь характер зависимости S от ее 2га + 2 аргументов. Фиксируя сначала J0 и J1 и рассматривая только вариации терминальных точек, получаем из (15.4.5)
oS = рп Oqn — Propra, (15.5.7)
где рг0, рт1 — составляющие обобщенного импульса в моменты J0 и J1. Составляющие импульса в терминальных точках траектории можно найти из главной функции: они равны частным производным — dSldqT0 и dSldqri.
Далее рассмотрим вариацию времени J1. Если через Lx обозначить значение L на траектории в момент J1, то будем иметь
Следовательно,
?l=-pTlfiiTl + Li=-Hu (15.5.9)
где Hi — значение функции Гамильтона H в заданном движении в момент J1. Из соображений симметрии следует, что
¦f—Я„, (15.5.10)
где H0 — значение функции H в заданном движении в момент J0. (Формальное доказательство этого результата не совсем тривиально, если иметь в виду описанный выше способ построения главной функции. Возникающие здесь трудности можно обойти, если по-другому выбрать систему вспомогательных параметров; к этому вопросу мы еще вернемся в § 15.7.) Таким образом, для самой общей вариации по всем 2п + 2 аргументам мы получаем важную формулу:
