Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(14.12.6)
Интегралы здесь берутся по граничным поверхностям, а индекс п относится к внешней нормали. Сообщенная энергия является наименьшей из всех возможных при заданных значениях нормальной скорости в точках границы. Это следует из замечания 1 к теореме Кельвина (§ 14.7, п. 5), так как в каждой точке границы задано как направление импульса, так и составляющая скорости в этом направлении.
2) Неупругая струна (нить). Неупругая струна AB, лежащая на гладкой горизонтальной плоскости, приводится в движение импульсом /, направленным по касательной к струне в точке В. Найти движение струны после приложения импульса.
Пусть s — длина струны между точками А и Р, а яр — угол между касательными к струне в этих точках. Будем предполагать, что радиус кривизны р = = dsldy положителен и конечен и представляет собой дифференцируемую функцию от гр во всех точках дуги AB. Обозначим через и, V тангенциальную и нормальную составляющие скорости точки P (рис. 47). Если X — линейная плотность струны в точке Р, то основное уравнение (14.3.6) запишется в форме
Рис. 47.
j X (и Au-j- V Av) ds = J Аив,
(14.12.7)
где символ А, как обычно, обозначает конечную (не бесконечно малую) вариацию, а ив — значение и в точке В.
Поскольку струна нерастяжима, имеем
du . d . V = -j-t-, Av = -=— Au,
и уравнение (14.12.7) записывается в виде
J j4u Au-f Xv-^- (Au) j- рdip = JAuB.
о
(14.12.8)
(14.12.9)
Здесь а обозначает величину угла ip в точке В. Интегрируя по частям, находим
а
XpvAu
+ j ^Xpu-~(Xpv)^ Aud^ = JAuB. (14.12.10)
о
Ha концах струны выполняются следующие условия:
(Xpv)A = 0, (Xpv)B = /, (14.12.11)
S 14.12]
ИМПУЛЬСИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
267
и так как равенство (14.12.10) выполняется для произвольных Aw1 то можем написать
Яри =-а-(Яру). (14.12.12)
Функция и удовлетворяет дифференциальному уравнению
^(Яр-^) = ЯрМ. (14.12.13)
Что же касается функции v, то для нее имеем дифференциальное соотношение
эквивалентное однородному линейному уравнению
Vя + w' + (х' - 1) V = 0, (14.12.15)
1 d
где к = щ (Xp) — заданная функция от -ф; штрихом обозначено дифференцирование по ijj. Нас интересует решение уравнения (14.12.15), удовлетворяющее условиям на концах (14.12.11). Заметим, что если радиус кривизны струны в точке В равен нулю, например, когда В является точкой заострения дуги циклоиды, это решение не имеет места.
Другой случай мы имеем, когда конец А не свободен, а вынужден двигаться в направлении нормали к, кривой в точке А (другие направления невозможны). Условиями на концах тогда будут
иА = 0, (Xpv)B = /. (14.12.16)
Рассмотрим два конкретных примера движения однородной струны, когда Я, = = const, и = р'/р.
а) Струна имеет форму дуги окружности, и угол г|з изменяется от г|> = 0 до i|) = а. Уравнение для v запишется в виде
Vя — V = 0. (14.12.17)
Решение его будет иметь вид
„ , / shгЬ Ja shib
v = c sh 1, = -3^ -^=-=--^., (14.12.18)
где М—масса струны. Из (14.12.12) находим
Ja ch \Ь
u=v -= -г=—;-.
M sha
Энергия струны будет равна
(14.12.19)
YJub== Шас1Ъа- (14.12.20)
1
Интересно отметить, что это значение больше, чем-^- {J2IM), что и следовало ожидать на основании теоремы Бертрана; мы должны были бы наложить на движение связь, заставив струну двигаться внутри гладкой трубы; тогда ее энергия была бы равна
j {PIM).
Если конец А не свободен, а принужден двигаться в направлении нормали к струне, то решение записывается в виде
_ , , / ch г)) Ja ch гр „,.....
v = Cchib = -v--т-2- = -=--тг- (14.12.21)
т Xp cha M cha '
и =
Ja sh чр ~W cha '
(14.12.22)
268
ТЕОРИЯ УДАРА
[Гл. XIV
В этом случае энергия струны равна
Y Jub = W а th а' (14.12.23)
и она меньше того значения, которое дает формула (14.12.20). Таким образом, мы еще раз проиллюстрировали теорему Бертрана.
Ь) Струна имеет форму дуги цепной линии
S= ctg яр, (14.12.24)
где угол ip изменяется от гр = 0 до гр = а. В этом случае р = с sec2 гр, у, = 2 tg гр и дифференциальное уравнение для v принимает вид
v" + 2v' tg гр + (2 tga ip + 1) V = 0. (14.12.25)
Решением его будет
V = (С -г Ap) совгр. (14.12.26)
Из условия (14.12.12) получаем
и = (С + Игр) sin гр + D cos гр. (14.12.27)
В случае свободной струны условия на концах (14.12.11) принимают вид
C = O1 _5 = -L_^_. (14.12.28)
Если же точка А принуждена двигаться по нормали, то условия на концах (14.12.16) дают
С = ~ cos a, X)=O. (14.12.29)
В этом случае
и= С sin гр, г;=Ссовгр (14.12.30)
и все точки струны движутся с одинаковой скоростью С в одном направлении — в направлении нормали к кривой в точке А.
Глава XV ШЕСТАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
§ 15.1. Шестая форма основного уравнения. В гл. XII и XIII мы рассматривали механические системы весьма общего типа. В этой главе речь будет идти о более частном классе систем, а именно о консервативных голо-номных системах. Выберем лагранжевы координаты qx, q2, ¦ ¦ ., <?„, число которых равно числу степеней свободы системы, и вспомним, что виртуальными перемещениями мы назвали перемещения, задаваемые произвольными значениями Oq1, 8q2, . . . , Oqn- Четвертая форма основного уравнения (§ 6.1) может быть записана так:
