Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
г= і "Чт
и вследствие произвольности вариаций 8qx, 8q2, . . ., 8qn она эквивалентна п уравнениям движения Лагранжа.
Обозначим составляющую обобщенного импульса dLldqr через рг (§ 6.10),
а вариацию функции Лагранжа при произвольных вариациях q и q и неизменном t — через 8L. Тогда будем иметь
n п
г=1 Г d9r r=i r
Из (15.1.1) и (15.1.2) получаем
Tl
2 {pMt + pMt) = 8L. (15.1.3)
r=l
Это есть шестая форма основного уравнения. Она справедлива при произвольных значениях 8q и 8q. Опуская знак суммирования, ее можно сокращенно записать в виде
pT8qT + pT8qr = 6L. (15.1.4)
Шестая форма основного уравнения весьма удобна для описания движения динамических систем рассматриваемого типа. Сначала мы покажем, каким образом с помощью ее можно получить доказанные ранее теоремы, а затем перейдем к выводу некоторых других важных результатов.
§ 15.2.. Непосредственные выводы. Шестая форма (15.1.4) основного уравнения была получена нами из уравнений. Лагранжа; теперь решим обратную задачу — выведем уравнения Лагранжа из уравнения (15.1.4). Так как
уравнение (15.1.4) справедливо для любых значений 8q и 8q, то
Pr = -^-, Pr = JL, г= 1,2, п. (15.2.1)
dqr
Отсюда
i(-f)=^-' г= 1,2, ...,». (15.2.2)
270
ШЕСТАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
[Гл. XV
Представим теперь уравнение (15.1.4) в форме
• • •
qrbpr — Pr&qr = 8(PrQr-L), (15.2.3)
Обозначим через H функцию prqr — L, выраженную через q, р и t (§ 10.13). Уравнения, определяющие р,
г = 1,2, п,
dqr
линейны по q. Из них можно найти q как функции от q, р и t, причем зависимость от р линейна. Исключив затем q в выражении prqr — L, получим функцию Н. В исходном уравнении (15.1.4) вариации q и q были произвольны, поэтому произвольны будут и вариации q и р в уравнении
qr8pr —Pr^Qr = 8Н. (15.2.4)
Следовательно,
9r = -fa> Pr=~-dg7~' r=l,2, п. (15.2.5)
Мы получили уравнения Гамильтона.
Как уже отмечалось (§ 10.13), 2п уравнений (15.2.5) образуют систему уравнений первого порядка вида
х = -ЗГ,
где X и X — матрицы-столбцы, или векторы, с 2п составляющими. Составляющая Хг вектора X зависит от X1, х2, ¦ ¦ -, X2n и, возможно, от t. Функция H является новой описывающей (дескриптивной, descriptive) функцией механической системы, т. е. функцией, по которой могут быть построены уравнения движения, так что она неявно содержит в себе полное описание возможных движений. Некоторые обобщения уравнений (15.2.5) уже рассматривались в § 10.13, а явное выражение для H было получено в § 10.14.
Пространство 2п измерений, точки которого определяются 2п координатами qi, q2, . . ., qn, р\, р2, . . ., рп, называется фазовым пространством; движение механической системы можно рассматривать как движение изображающей точки в фазовом пространстве. Структуру фазового пространства можно представить как 2ге-мерное евклидово пространство с прямоугольными координатами qu q2, . . ., qn, Pi, р2, . . ., рп. ¦
Функции Лагранжа и Гамильтона не являются единственно возможными дескриптивными функциями, хотя они и являются, конечно, наиболее важными. Из шестой формы основного уравнения можно получить и другие формы уравнений движения. Так, например, уравнение можно написать в виде
qrbpr + qrbpr = b (prqr+Prqr—L)- (15.2.6)
Если функция X = prgr + Рг?г — L выражена через р и р, мы получаем уравнения движения
<7г = ^-, Яг = 4?-, г=1,2.....». (15.2.7)
дРг дРг
типа уравнений Лагранжа; в самом деле, из них следует, что
d дХ дХ
§ 15.3]
ФУНКЦИЯ РАУСА
271
Процесс построения функции X хотя теоретически и возможен, но для практических целей непригоден. В самом деле, требуется решить уравнения
Pr = AL, рг = ~% г=1,2.....п, (15.2.9)
dqr dqr
относительно q и q (выраженных через р и р), а это возможно лишь в очень ограниченном числе простых случаев: уравнения (15.2.9), как правило, нелинейны относительно q. Примером, когда этот процесс удается провести, может служить задача о малых колебав ниях. Если
п г=1
то соответствующая функция X имеет вид
п г= 1
х=4 s (--яУй+і*)
и уравнения движения (15.2.7) оказываются эквивалентными уравнениям Лагранжа. Теоретически можно построить также аналогичную дескриптивную функцию,
зависящую от q и р. Напишем уравнение (15.1.4) в форме
qr.opT — proqI. = o(prlr — L). (15.2.10)
. . .
Если через Y обозначить функцию prqr — L, выраженную через q и р, то уравнения движения запишутся в виде
qT = -~, Pr=-А-, г = 1,2, (15.2.11)
дрг dqr
В этом случае нужно исключить q, выразив их через р с помощью уравнений
что практически в большей части случаев опять-таки оказывается невыполнимым.
§ 15.3. Функция Рауса. Дескриптивную функцию можно построить таким образом, чтобы некоторые из уравнений движения, скажем первые т пар, имели гамильтонову форму, а остальные — лагранжеву. Сделать это достаточно просто. Откажемся на время от принятой формы записи суммирования и представим уравнение (15.1.4) в виде
