Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
ft п п
2 ( S Рт^те) Acos = 2 ^Atos, (14.8.5)
S= 1 t= 1 5= 1
где
N
Q8= 2 ^rOVs (14.8.6)
t= 1
есть обобщенная составляющая импульса. Величины Q могут быть найдены точно таким же образом, как величины Q в уравнениях Гиббса — Аппеля (§ 12.3). Именно, воспользуемся соотношением
N к
2 PMr= 2^sбf^s. (14.8.7)
Г=1 S=I
В наиболее распространенном случае, когда все коэффициенты ат в (14.8.1) равны нулю, имеем
JV к
2 PrUr= 2 ^sCo3. (14.8.8)
Г=1 S=I
256
ТЕОРИЯ УДАРА
[Гл. XIV
Выражая правую часть (14.8.4) через к величин Асо, получаем
JV й
2 тт {Ur-Un) Дцг = 2 &sAtos. (14.8.9)
Г=1 S=I
Этот результат аналогичен пятой форме основного уравнения (12.3.11) в случае конечных сил. Введем функцию 9?:
jv
sr=y ^rUr(Ur-Ur0)2. (14.8.10)
t=i
С помощью соотношений (14.8.3) ее можно выразить через разности (Co1 — со10), (со2 — ©го), ¦ • • ' (°0? — сом)- Проделав это, получим однородную квадратичную функцию от этих разностей. Если коэффициенты осг все равны нулю, то Ш зависит от (сог — сог0) таким же образом, как T зависит от сог; в любом случае функцию 9{ можно построить по членам T2 в выражении для Т. Левая часть уравнения (14.8.9) равна
/> jv
2 J 2 Mr(Ur-Ur0)(XrS^ ACO5 =
S=I t= і
ft jv ft
= 2 {2 mr(ur-ur0)d^} ACOs = E-S-^- (I«-")
s=l r=l s=i
Поэтому его можно записать в эквивалентной форме:
h h
<Э(08
S=I S=I
Чтобы получить уравнение движения в момент Z1 + 0, достаточно, как
обычно, применить бесконечно малые вариации; тогда уравнение (14.8.12) примет вид
№ = 2 Q^ws. (14.8.13)
S=I
В случае отсутствия импульсивных связей, когда вариации 6CO15OCo2» ••• . . ., ocoft независимы, уравнение (14.8.13) приводится к уравнениям
U = Q8, 5=1,2,...,/«. (14.8.14)
В случае импульсивных связей первого типа, например связи, выражаемой одним уравнением
Ьісої + Ь2со2+. . .+bkwh = 0, (14.8.15)
движение в момент Z1 -f- 0 определяется условием 6?? = 0 и уравнением связи (14.8.15); соответствующие уравнения имеют вид
~ = Us, s = l, 2, к. (14.8.16)
Множитель к пропорционален величине импульса, создаваемого импульсивной связью.
Уравнения движения, получаемые из равенства
S=I
2 Acos = 2 Q.A(o,. (14.8.12)
14.9]
ЛАГРАНЖЕВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УДАРА
257
(в котором ocor бесконечно малы), совпадают с условиями стационарности выражения
ft
IR - 2 (14.8.18)
«¦=1
Это выражение в действительном движении имеет минимум. В самом деле,
ft
A (81-2??) =
S=I
JV JV ft
y2mf (ur + &ur — uro)2 — у 2 ™r (Ur ~~ Ur°)2 — 2 ?sAo)s =
2
8= 1 Г= 1 S= 1
JV JV JV
= \jmT(AurY + [j "Ir(Ur-Ur0)AUr-J Q8AcO6}. (14.8.19)
r=l r=l S=I
Отсюда, учитывая (14.8.9), получаем
ft JV
А (Ж-2 fe)=y2N8>0' (14.8.20)
8=1 Г=1
Доказательство на этом заканчивается. Полученный результат аналогичен неравенству (14.5.3), подобно тому как неравенство (12.4.6) аналогично принципу наименьшего принуждения Гаусса.
§ 14.9. Лагранжева форма уравнений движения в теории удара. Уравнения движения можно получить из функции кинетической энергии Т, выраженной через CO4, «>2) • • •) toft* вместо того чтобы выводить их из функции Ж, представленной через разности (сої — со10), (со2 — оо2о), • • •, (wft — ©fe0). Функцию Т, равную
JV
TJmru*r, (14.9.1)
T= і
следует выразить через Co1, со2, . . ., cofe с помощью равенств (14.8.1). Имеем
JV
dlR vi / \ Sur дТ I дТ \ ,л / а о\
_ = 2 ^(^-^о)^- = ^-(^)0. (14.9.2)
г=1
так как производные ^ имеют одно и то же значение до удара и после удара. Таким образом,
дЧЯ дТ
где я
да>8 дщ
дТ
(14.9.3)
обозначает приращение величины , т. е'. разность между ее ЗНаЧе-С/СО-
ниями в моменты ti + 0 и ti — 0. Поэтому уравнения (14.8.14) и (14.8.16) можно записать в форме Лагранжа:
J^I=Qs, «=1,2, ...,A, (14.9.4)
S= 1,2, ..., к. (14.9.5)
Если система начинает движение из состояния покоя, то функция 9? совпадает с Г и уравнения проще всего выводятся из соотношения
ft
ЬТ = 2 UM*. (14.9.6)
S=I
17 Л. А. Парс
258
теория удара
[Гл. XIV
В случае отсутствия импульсивных связей для системы, которая в начальный момент находилась в покое, имеем
где ps — составляющие обобщенного импульса, введенные в § 6.10 (там q являлись лагранжевыми координатами, здесь же они могут быть квазикоординатами). Каждая составляющая ps равна соответствующей составляющей обобщенного импульса, необходимой для приведения в движение системы, находившейся в покое.
§ 14.10. Другие доказательства теорем об энергии. Доказательства теорем об энергии, которые мы дали в §§ 14.6 и 14.7, могут быть проведены и в лагранжевых координатах. Дадим их для некоторых из теорем. Будем предполагать, что все аг в формуле (14.8.1) равны нулю. При этом условии T является однородной квадратичной функцией от со:
к h
Т = \^^атм (14.10.1)
