Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
T=I S=I
и
ft
pr=Sarscos. (14.10.2)
S=I
Уравнение Лагранжа в теории удара записывается в виде
Ur = Pr- Pr0- (14.10.3)
1) Для доказательства теоремы о суперпозиции (§ 14.6)*будем исходить из равенств
h
Qr= S ^s К-COs0), г = 1,2..... J1 (14.10.4)
S=I
ft
Q;= E ««K-w«), r=l,2, к, (14.10.5)
S=I
где со — скорость, сообщаемая импульсом Й, а со' — скорость, сообщаемая импульсом Й'. Следовательно, ft
Qr + Q'T= 2 ars{((us + (us — coso) — co80}, r = l,2, a, (14.10.6)
S=I
и скорость, сообщаемая импульсом Q + Й', равна
to + co' —<о0. (14.10.7)
Полученный результат эквивалентен теореме § 14.6, так как иг — линейные и однородные функции от .со. Если, в частности, система первоначально находилась в покое, то суперпозиция импульсов влечет за собой суперпозицию скоростей.
2) Если система, находившаяся первоначально в покое, приводится в движение заданной системой импульсов, то в силу (14.10.3) кинетическая энергия ее имеет выражение
ft ft
т=і 2 MrPr 42 Q^ (14-10'8>
T= 1 T=i
h
или выражение (14.7.5), так как скалярное произведение 2 ^г«>г представ-
г=1
ляет собой инвариант.
S 14.10]
ДРУГИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА^ТЕОРЕМ ОБ ЭНЕРГИИ
259
3) Если в момент приложения импульсов система находится в движении,
то
ft
T — T0 = Y 2 — ^roPro) =
r=l
ft ft
= 12(^-^)((0, + ^)-2 2 (PrtOro — Pr0(Or). (14.10.9)
r=l r=l
С другой стороны,
ft ft
2 PrCOr0= 2 iWV (14.10.10)
Г=1 r=l
(Этот результат еще понадобится нам позже.) Учитывая (14.10.10), получаем
ft
7¦-T0 = 2 Qr "'IT*1 ' (14.10.11)
r=l
что эквивалентно (14.7.4).
4) Для доказательства теоремы Бертрана предположим, что составляющие обобщенного импульса Qr равны нулю при г> / и что во втором опыте связи имеют вид cor = 0 при г > /.
Для первого опыта
&г = Рг, Г</, "I
n ^ • Г (14.10.12)
а для второго опыта
п * • Г (14.10.13)
(штрихом обозначены величины, относящиеся ко второму опыту). Имеем
ft
т - г=\ 2 (Pr^r - р'Л) =
г=1
ft ft ft
=т 2 (Pr ~ р'т> (Шг—юг)+2 far—Pr) ©г—у 2 —• (14-10-14)
г=1 г=1 г=1
Второе и третье слагаемые правой части равны нулю: второе в силу того, что рт — р'г = 0 при г и со'. = 0 при г>7, а третье в силу равенства (14.10.10). В результате получаем
T - Г = R > 0. (14.10.15)
5) Чтобы доказать теорему Кельвина, будем считать величины сог заданными при г /, а величины Йг равными нулю при г > Если отнести со' к любому другому движению, возможному при заданных значениях соь CO2, . . ., a>j, то можно будет написать
ft
T - Г = у 2 (Pr®' ~ =
г=1
ft ft ft
= -y2 (Pr-рок-©;)+ 2 Pr к-©о+у 2 (pr»;-pK)- (14.10.16)
r=l r=l r=l
17*
260
ТЕОРИЯ УДАРА
[Гл. XIV
Здесь тоже второе и третье слагаемые правой части обращаются в нульз второе в силу того, что сог > Юг при г ^ j и рт = 0 при г > і, а третье в силу равенства (14.10.10). В результате получаем
Г - T = Л > 0. (14.10.17)
§ 14.11. Приложения теории удара. Рассмотрим теперь несколько конкретных примеров, иллюстрирующих изложенную выше теорию.
Пример 14.НА. Три однородных стержня AB, ВС, CD, массы M каждый, шарнирно соединены в точках В и С и располагаются по одной
прямой на гладкой горизонталь-
Iy ? \у j) ной плоскости. Система приводит-..-1-*-т ся в движение ударом в точку А,
JTf совершаемым в этой плоскости
под прямым углом к линии стерж-РиС- 45. ней. Требуется найти движение
системы после удара и проиллюстрировать применение теорем Бертрана, Кельвина и Тейлора в том случае, когда конец D цепочки из стержней закреплен неподвижно.
В случае отсутствия импульсивных связей можно пользоваться уравнением (14.9.6), ЬТ = / bv; функцию T представим в виде
T=^M {(v2 -VX + X2) + (X2 -ху + у2) + (у2 -yz + Z2)} =
= |ж(і)2-ю + 2х2 — ху + 2у2 — yz + z2) (14.11.1)
(см. рис. 45). Имеем
2v — x = 6J/M, —v + Ax — y = 0, — x + 4y — z = 0, —y + 2z
Отсюда
= 0. 1
= 0. J (14Л1-2)
z _ У _ х ._ v__6//М 2/ ііл \\ Ч\
1 2 '" 7 26 ' 45 ~ IbM " {11.11.O)
Сообщенная стержням энергия согласно (14.7.5) равна
Учитывая теперь уравнение связи z = 0, получаем
T = A M (V2 — vx + 2х2 — ху + 2у2). (14.11.5)
Из условия ЬТ = J bv находим
Iv-X = UIM, —v + 4.x — y = 0, — X + 4у = 0. (14.11.6)
Отсюда
1.= —=— = ________—_____
1 4 15 26 13M- 1,1?.!-.і;
Сообщенная энергия равна
\jv = lMv2 = %AL. . (14.11.8)
V) Если величина / в обоих случаях одна и та же, то превышение энергии в первом случае по сравнению со вторым равно
/26 45\ /2 1/2 .....лч
§ 14.11]
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УДАРА
261
или, если выразить через скорость v0 точки А в первом случае,
(14.11.10)
2) Если в обоих случаях v = v0, то уменьшение энергии в первом опыте по сравнению со вторым будет равно
Следовательно,
K-B = (
—\ Mv2 ¦ 104 j °
