Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
J dqs0 to
ti
oS dS dqri P dL
dt, (15.7.4)
[JJ-dt. (15.7.5)
J da>s0
offls0 dqn ocos0
(o
Умножая три последних уравнения соответственно на 1, щ0, as0 и складывая, получаем dS , dS ( dgn , ^ ogri і „ dgn \ _
Согласно доказанной лемме, оператор (15.7.1) обращает 5rJ в нуль. Это справедливо и для L, следовательно,
JjJ-=— fflsO-^r--L0 = р80щ0—L0 = H0, (15.7.7)
or0 dqs0
что и требовалось доказать.
§ 15.8. Свойства главной функции. Знание функции S имело бы огромное значение для изучения динамической системы, если бы ее можно было по интуиции или изобретательности составить без того, чтобы сначала знать интегралы уравнений движения Лагранжа. Рассмотрим, например, соотношения
JL= -Pr0, г=\,2,...,п. (15.8.1)
Они определяют qn в зависимости от Z1 (и параметров qr0; pr0; Z0). Соотношения (15.8.1) представляют собой интегралы уравнений Лагранжа и определяют движение в «//-пространстве. Они дают нам, таким образом, общее решение задачи Лагранжа. Следует подчеркнуть, что уравнения (15.8.1), дают действительное явное выражение движения в а-пространстве, а не являются
278
ШЕСТАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
[Гл. XV
лишь новой формой дифференциальных уравнений для определения этого движения. Аналогично, соотношения
as
dqr
Рп,
1, 2, ..., п,
(15.8.2)
выражают рг1 через qri (а также qr0, Z0 и Z1). Две системы (15.8.1) и (15.8.2) определяют qrl и рт1 как функции Z1 (и параметров qr0; рт0, Z0). Они представляют собой интегралы уравнений Гамильтона и определяют движение системы в фазовом пространстве. Таким образом, они дают нам общее решение задачи Гамильтона.
Отметим еще некоторые свойства функции S.
1) Если функция L не зависит явно от Z, то Z0 и Z1 входят в выражение для S лишь в комбинации (Z1 — Z0). При этом (как нам уже известно из § 10.14) Hi = H0 и формула (15.5.11) принимает следующий вид:
dS = pfi dqri — Pr0 dqro — Hx d (Z1 — Z0). (15.8.3)
2) Функция S имеет непрерывные вторые производные, и определитель
d*S
d*S
dg10 Ogn,
d*S
d*S
O2S
Og20 Oqn
Oq2O dqm
d*S
c?S
o?n0 dqn dqn0 dq2l
dqno dqni
(15.8.4)
или, короче, определитель
dq~~dq~ ' НЄ °"РаПШЄтСЯ ТОЖДЄСТВЄННО В НуЛЬ.
В самом деле, в противном случае существовало бы функциональное соотношение, связывающее ¦L— и qr0 (а также Z0 и Z1). Это указывало бы на зависимому,.!
мость между pri и qT0 (а также Z0 и Z1), что противоречит предположению о независимости этих переменных.
3) T е о р е м а Л и у в и л л я. Якобиан
d ?21, • • •, qm, Pu, Р2і, ¦ ¦ ¦, Pni)
д (?ю> ?20. • • • > ?n0. Pio, Рго,
Pno)
(15.8.5)
равен (плюс) единице. Это означает, что преобразование от (qr0, Pro) к (°.п, Pn), осуществляемое интегралами уравнений Гамильтона (при фиксированных Z0 и Z1), обладает свойством сохранения протяженности (объема, меры) фазового пространства.
Для доказательства теоремы Лиувилля выразим все величины через промежуточные переменные qr0, qT\. Записывая определитель (15.8.5) сокращенно как
будем иметь
д(?п; Pn) <5(?ro; Pro)
d(gri; Pn)
d(gri; Pn) __ d(qro; gri)
fl(«ro; Pro) ^(gro; Pro)
(-l)r
д (Pri) д (?so)
^(?ro; in)
d(Pro) д (qs\)
(15.8.6)
§ 15.8]
СВОЙСТВА ГЛАВНОЙ ФУНКЦИИ
279
Здесь f \Рг1} обозначает определитель, в котором элемент r-ш строки и s-ro
о Wso)
столбца равен дРтЛ . Ho правая часть равенства (15.8.6) равна
(_1)п
д<1г
¦Л,
что и требовалось доказать.
4) Соотношения (15.8.1), (15.8.2), дающие решение задачи Гамильтона, выражают qrl и рт1 через 2п параметров qr0 и рг0. Однако эта система параметров не всегда является наиболее удобной. Предположим, что мы хотим перейти к новой системе 2п параметров ar, ?r, представляющих собой независимые функции от qr0 и рг0 с непрерывными первыми производными и удовлетворяющих условию
?r dar = Pr0 dqro (15.8.7)
(знак суммирования для краткости опущен). Такой переход от (qr0, рго) к (ar, ?r) называется однородным контактным преобразованием. В дальнейшем нам часто будет встречаться преобразование этого типа.
Выразим теперь функцию S через 2п -f- 2 переменных (qTl; ^о» ^t):
S (qT<>; Чти t0, ti) = S' (ат; qri; t0, U). (15.8.8)
Согласно формуле (15.5.11) имеем
dS' = рп dqrl — ?r dar — H1 dtt + H0 dt0. (15.8.9)
Из формулы (15.8.9) можно получить результаты, аналогичные тем, что были получены из формулы (15.5.11). Уравнения
-g-=-?r, г= 1,2, ...,п, (15.8.10)
дают решение задачи Лагранжа. Они позволяют выразить qrl через а, ? и t0 и tt. Присоединяя уравнения
dS'
Oq
¦¦Pr1, г=1, 2, ..., п, (15.8.11)
получаем две системы (15.8.10) и (15.8.11), дающие решение задачи Гамильтона. Они позволяют выразить qTl и рг1 через а, ? и t0 и tt.
Описанный выше процесс преобразования несколько более тонкий, чем это может показаться на первый взгляд. В самом деле, чтобы выразить qr0, рг0 через (ar; qrt', to, '1)1 необходимо воспользоваться уравнениями
