Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 122

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 290 >> Следующая


dS = рп dqri — Pro dqr0 — ні Ut1 + H0 dt0. (15.5.11)

§ 15.6. Примеры использования главной функции. Мы видели, что главная функция зависит от 2п -f- 2 независимых переменных: координат начальной и конечной точек в g-пространстве и начального и конечного моментов времени. В простейших случаях (см. ниже пример 1)) этим переменным можно задать произвольные значения, так что, сообщив движение из точки д0 в момент J0, можно достигнуть цели — точки Qi — в момент J1. В подобных случаях функция S существует и является (однозначной) дифференцируемой функцией при всех вещественных значениях , аргументов. В более сложных случаях это не имеет места, что, однако, не противоречит общей теории, поскольку практически мы всегда начинаем с заданной дуги известной траектории. Это соответствует определенной точке

^10. ?20. • • •> Чп0\ ?21. • • •> Чпи к, J1 (15.6.1)

в (2га -\- 2)-мерном пространстве, для которой определенное значение S определяется заданной траекторией, и мы имеем дело только с вариацией S в непосредственной окрестности точки (15.6.1).

Приведем несколько конкретных примеров.

1) Движение частицы в плоскости z = 0 в однородном силовом поле (0, —g). Если через м0, V0 обозначить составляющие скорости в точке х0, у0, то можно написать

Xi—X0 = U0{ti—t0), -у

/. ,s 1 U . 49 ? (15.6.2)

18*

276

ШЕСТАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ

[Гл. XV

Если разность tt — t0 не равна нулю, то эти уравнения определяют иа, V0 единственным образом. Существует единственное решение для произвольных положений терминальных точек и для произвольных неравных значений t0 и I1. Следовательно, S существует и является однозначной функцией шести своих аргументов.

2) Гармонический осциллятор. Уравнение движения имеет вид

'х + п?х = 0. (15.6.3)

Уравнение

Xi = X0 cos п (Z1-fo) + -^- sin п [ti—t0) (15.6.4)

однозначно определяет и0, если только п (J1 — t0) не кратно я. За исключением этого случая, существует единственная траектория для произвольных значений четырех аргументов и S является однозначной функцией от х0, X1, t0, tt. Это ясно видно из рис. 48, на котором показаны движения, начинающиеся в точке х0 в момент t0. Если же п (J1 — t0) = гя,

то траектории не существует, если только не выполняется условие X1 = (—Iy хв; в последнем случае существует бесконечное множество траекторий. Поэтому, если п (tt — t0) кратно я, то функция S, вообще говоря, не определена.

Рассмотрим более общую задачу, а именно малые колебания около положения устойчивого равновесия (§ 9.1). В нормальных координатах имеем

Sn = IrO cos pr(h—10) '+—¦ sin pT(ti—10), r = l, 2, ...,re, (15.6.5)

Pr

где cor0 есть значение |r в момент t0. Эти уравнения однозначно определяют соі0, Шго, • • • . . ., шп0, если только ни одно из чисел рг (*i — t0) не является кратным я. За исключением таких случаев, траектория однозначно определяется терминальными точками и временем перехода и S является однозначной функцией. •

3) Простой маятник. Для простоты положим tQ = 0 и G0 = 0, так что начальному положению груза будет соответствовать наинизшее его положение. Зависимость 9 от t для различных начальных скоростей представлена на рис. 5. Если tt произвольно, a G1 произвольно в пределах —я < O1 < я, то траектория, разумеется, не будет единственной. Единственность траектории можно гарантировать, если принять следующие ограничения: а) рассматривать лишь периодические движения с амплитудой, меньшей я, исключив из рассмотрения траектории, где 0 изменяется монотонно; Ь) рассматривать только положительные начальные значения 9; с) считать, что конечное значение 0f достигается за время, меньшее, чем один полный период.

§ 15.7. Доказательство равенства dS/dt0 = JST0. Перейдем к доказательству равенства (15.5.10), причем будем предполагать, что функция S построена по способу, описанному в § 15.5. Докажем сначала следующую лемму.

§ 15. SJ

СВОЙСТВА ГЛАВНОЙ ФУНКЦИИ

277

Лемма. Функции фг, определяемые уравнением (15.5.3), обращаются в нуль, если подвергнуть их действию оператора

_L + fflr0_i_ + ar0_!_, (!5.7.1)

где OC7-O обозначает qr в момент t = t0 (знак суммирования для краткости опущен).

Справедливость этого утверждения становится очевидной, если варьировать определяющие траекторию параметры таким образом, чтобы их значения определяли ту же самую траекторию. Чтобы получить формальное доказательство, замечаем, что при произвольном значении tt в некоторой окрестности Ч

Фе (?го'> <*>ro< Ч, О =

= фа (фг («то; Щпо; Ч, *і); фг (?то; %о; Ч, h); h, <}• (15.7.2)

Дифференцируя частным образом по tt и полагая затем ti = t0, получаем доказательство леммы.

Теперь нетрудно доказать равенство (15.5.10). В силу соотношений (15.5.4) и (15.5.6) имеем

h

oS dS dS dqrl P dL

dt0 dt0 dqT\ dt0 ¦ J dt0 to

dt—L0, (15.7.3)

где L, как и в (15.5.4), выражено через qr0, wr0, t0, t. Далее,

d<lso dQso 0Qn oqs0 J dqs0

to

ti

oS _ dS , dS dqn _ P dL
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed