Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
то cosO принимает значения, лежащие между верхним пределом у д (А — С)
, У С (B-D) „ „
и нижним пределом у D (В—С)' и имеет пеРи°Д 2К/п.
Определим теперь яр как функцию от t:
tgop=-^=-!/^-^;mnt. (13.13.6)
6 т A(o1 У А (В—С) cnnt v '
Как и следовало ожидать, гр монотонно возрастает, причем за время 4К/п увеличивается на 2я.
Затем найдем ср как функцию от t. Угловая скорость вращения около оси ОТ (рис. 16) равна
— cp sin О = CO1 cos гр —Co2 sin гр — _дд8іп8 • (13.13.7)
Следовательно,
;_ AiQl + В<Щ пп Ао>{+Вс»1 п ДС22_СМ| МЧ1Ч8\
Ф - DQ Sin2 0 - тІ AM + ВЩ ~ D2Q2_ • (lo.lo.o)
Подставляя значение со3 из формулы (13.12.28) и выполняя несложные преобразования, получаем
L nn (А-С) за* nt+(В-С) сп* nt (Щ 44 а\
^ B(A — С) sn2 nt-\-A (В — С) сп2 nt ' (io.io.M)
Скорость ср изменяется между значениями DQIA и DQlB, так что она всегда положительна. Правая часть равенства (13.13.9) периодична с периодом 2К1п, так что
Ф
(*+^)=Ф(0.
240
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИББСА -- АППЕЛЯ
[Гл. XIII
Следовательно,
ф (* + "?") =Ф(') + Фо. и при возрастании t на 2KIn угол ср получает постоянное приращение cp0. Значение ср0 можно найти, интегрируя (13.13.9); оно лежит между —^——
DQ гк и -р--.
В п
После того как углы 0, ср, гр определены как функции от t, можно по формулам (7.11.1) определить зависимость от времени всех девяти направляющих косинусов подвижной системы координат.
§ 13.14. Теоремы Пуансо и Сильвестра. Как и ранее, будем предполагать, что центр тяжести G находится в покое. Рассмотрим эллипсоид, связанный с телом и движущийся вместе с ним; пусть уравнение его в системе G123 имеет вид
Ax2 + By2 + Cz2 = DQ2. (13.14.1)
Перпендикуляр, опущенный из G на плоскость, касательную к эллипсоиду в точке P(Co1, CO2, Co3), имеет длину Q, а направляющие косинусы нормали к эллипсоиду в точке (CO1, CO2, CO3), равны
Ащ/DQ, B(O2ZDQ, C(O3IDQ. (13.14.2)
Так как вектор момента количеств движения постоянен, касательная плоскость к эллипсоиду в точке P (со1? со2, со3) будет неподвижна; обозначим ее через со. Таким образом, при свободном движении тела эллипсоид (13.14.1) будет катиться по плоскости со; центр эллипсоида при этом будет оставаться неподвижным. Угловая скорость будет равна расстоянию г от центра G эллипсоида до точки P касания с плоскостью со. В этом состоит теорема Пуансо.
Сильвестр заметил, что если бы эллипсоид (13.14.1) представлял собой однородное твердое тело, свободно закрепленное в точке G, и катился бы по плоскости со без воздействия на него сил (кроме реакций в точках G и Р), то это качение происходило бы точно так же, как происходит качение эллипсоида, связанного со свободно движущимся телом (если, конечно, в обоих случаях одна и та же начальная угловая скорость). Система имеет только одну степень свободы, и нам остается показать, что когда твердый эллипсоид, закрепленный в центре, катится по шероховатой плоскости, со пропорционально г. Если массу эллипсоида обозначить через М, а полуоси его — через а, Ъ. с, то кинетическая энергия будет иметь следующее выражение:
M
^ = ТП" + °2) 0J + (С2 + «*> <°= + (?2 + Ь') <°з} -
10
= TJ№2 + с*>х% + (* + ^ У* + + ь*-) **>• (13.14.3)
С другой стороны,
^L_ {(Ъ2 + с2) X2 + (с2 + а2) у2 + (а2 + Ъ2) z2} .--
/ 1 . 1 \ 3:2 j_/"1 ' _L\Itл.іJ-_Лii-_L-i._L.j_J___L нчи/1
- \'W^'CT) "_Т ¦ \ С2 "I- а2 ) 62 "Г \ а2 &2 ) С2 — а2 ' 62 ~Г" с2 р2 »
где р — (постоянное) расстояние от неподвижного центра эллипсоида до касательной плоскости. Поскольку T постоянно, со пропорционально г, что и требовалось доказать.
§ 13.1,5]
КАЧЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДА ПО ШЕРОХОВАТОЙ ПЛОСКОСТИ
241
§ 13.15. Качение эллипсоида по шероховатой горизонтальной плоскости. В качестве последнего примера использования уравнений Гиббса — Аппеля рассмотрим задачу о качении однородного твердого эллипсоида по шероховатой плоскости. Направим оси координат вдоль осей эллипсоида (которые являются главными осями инерции в центре G). Скорость точки G обозначим через и, v. w, направляющие косинусы вертикали (направленной вниз) — через I, т, п, а координаты точки соприкосновения эллипсоида с плоскостью — через х, у, z. Условия качения запишутся в виде
U — ущ + zoo2 = 0, ~]
1' — ZCO1-I-XCO3 = O, І (13.15.1)
w — хоо2+1/CO1 = 0. J
Вычислим сначала составляющие Z1, /2, /3 ускорения точки G. Имеем
fi = и — у Co3 + WCo2. (13.15.2)
Подставляя и, v, w из (13.15.1), находим
ft = 2/M3 — 2CO2 + УЩ — ZCO2 + X (СО2 + СО2,+ COl)-CO1 (XCO1 + !/0O2 + ZCO3). (13.15.3)
Вводя координаты qt, g2, q3 (причем qT = сог), напишем выражение для функции Гиббса:
® = 1-М(Р1 + П+П) + Т{А^1-2(В-С)щщщ}+...+ (13.15.4)
в правую часть которого подставим выражение для Z1 из (13.15.3) и выражения для /2 и /3 из аналогичных формул.
Величины Qi, Q2, Q3 найти нетрудно, поскольку Q есть момент силы тяжести относительно точки касания. Следовательно,
Q1 = Mg (—пу + пи). (13.15.5)
