Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Может представить интерес и другой способ получения соотношения (13.15.5). Имеем
_6У = -Mg Sp, (13.15.6)
где р — высота точки G, определяемая от горизонтальной плоскости. Далее, — р = Iu+ mv + nw = 2 I (УЩ — zoo2) = S ( — пу+тг)щ. (13.15.7) Таким образов,
—87 = Mg ? (-пу + mz) Og1, (13.15.8)
и мы снова получаем формулу (13.15.5).
Так как I, т, п определяют фиксированное направление в пространстве,
то
I —тщ + WCO2 = О,
т-IMo1 + ZoO3 = 0, > (13.15.9)
п — ZcO2 + ToCO1 = O. у Из элементарных геометрических соображений получаем
Z = J-, m = Jg-, n = 4-, (13.15.10)
а1 Ь1 v
где й, Ь, с—полуоси эллипсоида.
16 Л. А. Парс
242
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИИ ГИББСА - АППЕЛЯ
[Гл. KIIJ
Уравнения движения имеют вид
д®
Qv (13.15.11)
Первое из этих уравнений подробно записывается следующим образом:
M Z {ZtO1- ZtO3+ZtO1- XCO3 + ZZ (tO2 4 СО2 + CO2) — CO2 (XCO1+ ZZCO2 + ZCO3)} —
— My {XCO2 — ZyCO1 + XCO2 — ZyCO1 + Z (СО2 + CO2, + CO2) — CO3 (XCO1 + ZZCO2 + ZCO3)} +
+ ^CO1 — (В — С) CO2Co3 = Mg( — ny +mz) (13.15.12) или, после преобразований,
(Mr2 + A) CO1 — Mx (XCo1 + z/co2 + ZCo3) + Мггщ
¦I/!-'' — ZZCO3 + ZCO2) (^CO1 + ZZCO2 + ZCO3) — (В — С) CO2CO3 =
= Mg (—пу + mz), (13.15.13)
где г2 = X2 + у2 + z2. Уравнение (13.15.13) и два аналогичных составляют искомую систему уравнений движения эллипсоида.
§ 13.16. Устойчивость вращающегося эллипсоида. В качестве примера применения уравнений движения (13.15.13) рассмотрим задачу об эллипсоиде, вращающемся около своей оси а с угловой скоростью со. Спрашивается, при каких условиях это движение устойчиво по первому приближению относительно малых возмущений? Предполагая, что возмущенное движение мало отличается от невозмущенного, будем считать т, п, со2, со3 малыми величинами одного порядка, что позволит нам составить уравнения движения с необходимой степенью точности. Итак, пренебрегая членами второго порядка, будем иметь
1 = 1, X = г = а, у = Ъ2т1а, z = c2nla. (13.16.1)
Из первого уравнения (13.15.13) получаем Co1 = 0, так что Co1 =•- const; будем предполагать, что CO1 равно значению со в невозмущенном движении. Уравнения (13.15.9) теперь запишутся в форме
«Ъ = » + ™, . (13.16.2)
со3 == — т + core
справедливой с принятой степенью точности.
С помощью этих уравнений и соотношения А = M (Ja2 + с2)/5 и т. д. перепишем второе и третье уравнения движения в виде
(6а2 + с2) К+(12а2-5Ь2)ат +(с2-a2) (6w2 +К2) n = l, ^ J?
п = 0, ) п = 0, I
(6а2 +b2)m — (12а2 — 5с2) core + (?2 — а2) (бсо2 + к2) т где X2 равно 5g/a. Период колебаний находится из уравнений
т
= ™> ^ = 17T = * (13.16.4)
— рй ip —Pz IP
после исключения min. Проделав это, будем иметь [(?2 + 6а2) р2 — (Ъ2 - а2) (бсо2 + к2)] Kc2 + 6а2) р2 —
_(с2 _ а2) (бо2 + X2)] — (5Ь2 — 12а2) (5с2 — 12а2) со2р2 = 0. (13.16.5)
Достаточным условием устойчивости по первому приближению будет вещественность и положительность корней уравнения (13.16.5).
§ 13.16]
УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПСОИДА
243
Прежде всего заметим, что оба корня не могут быть положительны, если не выполнено неравенство
(Ь« _ а2) (с2 — а2) > 0, (13.16.6)
так что (Ь2 — а2) и (с2 — а2) должны быть либо одновременно положительны, либо одновременно отрицательны. Поэтому устойчивым может быть лишь вращение эллипсоида либо около короткой, либо около длинной оси.
1) Если а есть короткая полуось эллипсоида, то уравнение (13.16.5) можно представить в виде
РУр4 - {(P2T2 + 369V) и2 + (?V + т2о2) я2} Р2 + ev (бсо2 + X2)2 = о,
(13.16.7)
где Р, у, 9, ф — положительные числа, определяемые соотношениями
?2 = ь2 + 6а2, у2 = с2 + 6а2, 92 = Ъ2 — а2, ф2 = с2 — а2. (13.16.8)
Достаточное условие устойчивости по первому приближению, таким образом, состоит в том, чтобы значения р2, определяемые из уравнения (13.16.7), были вещественны и положительны. Коэффициент при р2 в уравнении (13.16.7), разумеется, отрицателен, и требуемое условие сводится к неравенству
(РУ + 3692Ф2) со2 + (р2ф2 + 7292) X2 > 2рт9Ф (бсо2 +X2), (13.16.9)
которое можно переписать в форме
(Py - 69ф)2со2 + Фф - т9)2^2 > 0, (13.16.10)
а это последнее неравенство, как легко видеть, выполняется, и, следовательно, вращение эллипсоида около короткой оси устойчиво при всех значениях со.
2) Если а есть длинная полуось, то уравнение (13.16.5) можно представить в форме
PVp4 - {(ру + 360V) «2 - (PV + Y2Q2) ^2} р2 + OV (бсо2 + х2)2 = о,
(13.16.11)
где теперь
?2 = ъ2 + 6а2, у2 = с2 + 6а2, б2 = а2 — Ъ2, Ф2 = а2 — с2 (13.16.12)
и р, у, 0, ф — положительные числа. Значения р2 будут вещественны и положительны при выполнении следующих условий:
(P2Y2 + 360V) to2 - (PV + T2S2) ^ > 0, (13.16.13)
(РУ + 360V) ю2 - (PV + T2O2) ^2 > 2р?9ф (бсо2 + X2). (13.16.14)
Последнее неравенство влечет за собой первое, так что для устойчивости достаточно, чтобы
(ру - 60Ф)2со2 > (рФ + yQ)2X2. (13.16.15)
Но Py > 69ф, так что движение будет устойчивым, если | со | > ?, где
