Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
7сф sin20 + 2ап cos 0 = const.
(13.7.16)
230
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИББСА — АППЕЛЯ
[Гл. XIII
Уравнения (13.7.15) и (13.7.16) идентичны с уравнениями (8.6.6) и (8.6.7), описывающими движение оси вращающегося волчка. При р = апПс, q = = 5g/7c и постоянной в правой части (13.7.16), равной 14сХ, они в точности совпадают. Кроме того, известно, что уравнения движения оси вращающегося волчка являются уравнениями Лагранжа, полученными из функции Рауса при исключении циклической координаты ojj. Уравнение же (13.7.15) есть уравнение Лагранжа для 8, а соотношение (13.7.16) — интеграл количества движения для ф, полученный из функции Лагранжа
L = -у с (82 + sin2 8 ф2) + 2геаф cos 8 — 5g cos 9.
(13.7.17)
§ 13.8. Вращающийся волчок. Обратимся теперь к задачам о движении твердого тела, имеющего ось симметрии. Начнем с известной задачи о вращающемся волчке, рассматривавшейся нами в §§ 8.6 — 8.10 на основе метода Лагранжа. До сих пор уравнения Гиббса — Аппеля мы использовали только в неголономных системах, где наиболее ярко проявляются их преимущества. Разумеется, их можно применить и к голономным системам, в частности к задаче о волчке. Помещая начало координат О в острие волчка и направляя
ось 03 вдоль оси волчка, можем написать (см. (13.4.11))
у ^K +со2)-
Ссо23 +
+ Me3-CCO3)(CO1CO2-CO2Co1). (13.8.1) Уравнения движения будут иметь вид A Co1 — (AQ3 — Ссо3) CO2 = Ni, A Co2 + (A Q3 — Ссо3) CO1 = N2, Ca3 = N3
(13.8.2) (13.8.3) (13.8.4)
Рис. 39.
(здесь qr = со,.). Работа заданных сил на виртуальном перемещении будет равна AT1Og1 + + A^2Og2 + AT3Og3.
Рассмотрим в качестве примера классический случай, когда заданными силами являются силы тяжести. Пусть 8, ф — полярные углы оси 03 волчка относительно неподвижной системы Oxyz, в которой ось Oz направлена вертикально вверх, а ось 02 горизонтальна (рис. 39). Тогда будем иметь
Co1 = —ф sin 6, Co2 = 6, O3 = ф cos 8, Ni = О, N2 = MgI sin 8, N3 = 0.
(13.8.5) (13.8.6)
Здесь I обозначает расстояние между центром тяжести G и острием волчка. Из (13.8.4) следует, что со3 = const, скажем
Co3 = п. (13.8.7)
Это справедливо и в любой другой задаче, в которой момент заданных сил относительно оси волчка равен нулю. Уравнения (13.8.2) и (13.8.3) теперь принимают вид
А ('ср sin 8 + 29ф cos0) — CnQ = 0, (13.8.8)
AQ-(A(Pcos0-Cn) ф sin0 = MgI sin0. (13.8.9)
§ 13.8]
ВРАЩАЮЩИЙСЯ ВОЛЧОК
231
Умножая уравнение (13.8.8) на sin 8 и интегрируя, получаем
Ay sin2 9 + С п cos в = const. (13.8.10)
Мы видим, что уравнения (13.8.9) и (13.8.10) совпадают с уравнениями (8.6.6) и (8.6.7); дальнейший анализ производится так же, как в §§ 8.6—8.10.
Если исходить из другой формы функции @, а именно из формы (13.4.15), то получающиеся уравнения будут иметь вид, указанный в § 8.7. В этом случае будем иметь
@ = i Af2+ 1 Ccol- C(D3/-. (S X и), (13.8.11)
@ = у А (х2 + у2 + z2) + у Ссо* — CcO3 {х (уz — zy) + y (zx — xz) + z (xy — ух)},
(13.8.12)
где х, у, z — направляющие косинусы оси волчка, т. е. составляющие век-тора ?. Пользуясь выражением (13.8.12), следует помнить, что величины х, у, z не являются независимыми. В самом деле,
X X + у у+ z"z + (х2 + у2 + z2) = 0. (13.8.13)
Равенством (13.8.13) можно воспользоваться для того, чтобы привести (13.8.12) к форме, содержащей лишь три необходимые составляющие ускорения. Более симметричное выражение получается, если ввести неопределенный множитель Лагранжа. Работа сил тяжести на виртуальном перемещении равна — Mgloz, так что уравнения движения записываются в виде
Ax — CtO3 (yz — zy) = кх, Ay — C(O3 (zx — xz) = ку, Az — C(O3 (xy — ух) = kz — Mgl, CtO3 = 0.
(13.8.14)
Последнее уравнение дает известный интеграл (о3 = п, тогда остальные уравнения принимают вид
кх, (13.8.15)
ку, (13.8.16)
kz - Mgl. (13.8.17)
Теперь легко прийти к ранее выведенным формулам. Из уравнений (13.8.15) — (13.8.17) непосредственно следуют уравнения (8.7.3) — (8.7.5). В частном случае спящего волчка х и у малы, a z в первом приближении можно считать равным единице. Тогда с принятой степенью точности будем иметь к = MgI, и уравнения (13.8.15), (13.8.16) примут вид
Ax
— Cn (yz —
zy)
Ay
— Cn (zx —
xz)
Az-
— Cn (xy —
ух)
Ax Ay
эквивалентный (9.9.14)..
+¦Cny-Mglx-0, 1 (138Л8)
— Cnx—Mgly = 0, J
232
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ I1HBBCA — АГЩЕЛЯ
ІГл. XIlI
§ 13.9. Качение монеты (тонкого диска). Система, рассмотренная в § 13.8, была голономна, а, как уже отмечалось, преимущества уравнений Гиббса — Аппеля проявляются наиболее ярко в неголономных системах. В этом параграфе мы рассмотрим задачу о качении диска или обода по шероховатой горизонтальной плоскости. Эта задача исследовалась нами с помощью метода Лагранжа в §8.12. Если обозначить через и скорость центра тяжести G диска, а через /— его ускорение, то, пользуясь обозначениями рис. 22, можно написать
U1 = О, u2 = —UCO3, U3 = (2CO2
и
fi = ux-+ «302 = о. (CO3G3 + со2), Z2 = U2- u3Qx +щВ3= —a (CO3 + CO1CO2), > /з = "з — «i92+ U2O1 = a (CO2-CO3Co1).
