Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
п-!<р+1еу(^+^(*-^+У(;»+*><*-»> г/ъ (13.16.16)
?Y —66ф У(6а2 + Ь2)(6в2+С2)— 6 Т/(а2_Ь2) (а2_с2) У а v '
Итак, мы пришли к следующему результату. Если а есть меньшая из полуосей а, Ъ, с, то движение устойчиво по первому приближению при всех значениях угловой скорости (как этого и следовало ожидать). Если а есть средняя полуось, то движение всегда неустойчиво. И наконец, если а — длинная полуось, то устойчивость имеет место для значений угловой скорости, превышающих некоторое критическое значение Q.
16*-
Глава XIV ТЕОРИЯ УДАРА
§ 14.1. Ударный импульс. В этой главе мы перейдем к изучению очень быстрых (внезапных) изменений движения, происходящих при действии на систему ударных импульсов. Под ударными импульсами мы будем понимать предельный случай действия больших сил в течение коротких промежутков времени. Уравнение движения свободной частицы имеет вид
тх = Х. (14.1.1)
Если X есть известная функция от J, то можно написать
tz
т (и2 — щ) = j X dt, (14.1.2)
н
где через иТ обозначено значение х в момент t = tT. Мы будем рассматривать случай, когда величина т = t2 — ti мала, функция X в промежутке времени (J1, ti + т) велика, а интеграл
*і+т
j X dt = P (14.1.3)
ti
имеет конечное значение; величину P будем называть составляющей импульса.
Выше мы определили ударный импульс как предельный случай действия большой силы в течение малого промежутка времени. Физически правильней будет рассматривать не строгий математический предел при т —>- 0, а считать т очень малым, но конечным промежутком времени, т. е. считать т физически малым, но не математически малым. Во всех практических случаях т можно считать пренебрежимо малой величиной. За время от J1 до ti + т конфигурация системы изменяться не будет, тогда как скорость в момент J1 = О будет изменяться скачком. В задаче, в которой других сил, кроме ударных, нет, координаты сохраняют постоянные значения, скорости в момент J1 — О задаются и требуется определить скорости в момент J1 + 0. Поскольку координата X остается неизменной, вместо х удобнее писать и.
Уравнения (14.1.2) и (14.1.3) вместе с соответствующими уравнениями для координат у, z образуют систему уравнений
т(и — и0) = Р, т (v — V0) = Q, т (w — W0) = R, (14.1.4)
где {Р, Q, R} — ударный импульс, действующий на частицу в момент J1, {и0, v0, W0) — скорость частицы в момент J1 — 0 (т. е. непосредственно перед приложением импульса), а {и, v, w) — скорость частицы в момент J1-J-O (т. е. непосредственно после приложения импульса). Уравнения (14.1.4) являются основными уравнениями в теории удара. Если частица перед приложением ударного импульса находилась в покое, то уравнения (14.1.4) принимают вид
ти = Р, mv = О. mw = R, (14.1.5V
§ 14.1]
УДАРНЫЙ ИМПУЛЬС
245
т. е. импульс равен количеству движения, сообщенному частице, находившейся первоначально в покое. Этот результат аналогичен второму закону Ньютона: аналогом силы здесь является импульс силы, а аналогом произведения массы на ускорение — количество движения.
Подход, при котором сила является основным понятием, а импульс — производным, наиболее естествен и соответствует предыдущему изложению. Возможен, однако, и другой подход. Можно импульс считать основным понятием, а силу — производным. При такой точке зрения конечная сила, действующая в течение некоторого интервала времени, представляется как предельный случай действия большого числа малых импульсов в моменты, распределенные по всему интервалу.
Рассмотрим движение твердого тела, на которое действует ударный импульс. Так как заданные силы в течение короткого промежутка времени принимают большие значения, то реакции связи в течение этого времени также должны быть велики. Итак, мы будем предполагать, что реакции связи велики; кроме того, будем считать, что тело остается твердым. Эти предположения представляют дальнейшую идеализацию реальных (не абсолютно твердых) тел. Фактически под действием конечных сил и тем более под действием ударных сил все тела получают деформации. В рассматриваемой нами идеализированной теории тела не деформируются как при воздействии конечных сил, так и при воздействии ударных сил.
Если через X' обозначить реакцию связи, действующую в течение вре-
мени от ti до ti 4- т, то интеграл X' dt =Р' будет иметь конечное значение;
ti
мы будем называть его ударным импульсом сил реакции. Он является аналогом реакции связи в задачах с конечными силами. Мы будем предполагать, что при воздействии этих импульсов тело не деформируется, т. е. остается абсолютно твердым. В более общем случае, при переходе от задачи движения одного тела к задаче о движении системы тел, мы будем иметь в виду, что на систему могут действовать соответствующие ударные импульсы сил реакции.
Рассмотрим общий случай механической системы, на которую действуют ударные импульсы. Начнем с задачи, в которой заданные силы (и соответственно реакции связи) в течение малого промежутка времени т принимают большие значения. Поскольку координаты частиц системы в течение этого промежутка времени практически не изменяются, остаются постоянными и коэффициенты Ars, A1. в уравнениях связи (2.2.4), что сильно упрощает исследование.
