Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 110

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 290 >> Следующая


JV

2 Ersus + Qr = 0, г = 1, 2, U, (14.3.2)

S=I

в которых функция времени 8Г изменяется за время от Z1 до ti + т от значения

JV

— 2 Ers ("s)ii-o Д° нуля в случае связей первого типа и от нуля до (Er)ti+o в

S=I

случае связей второго типа. Вторая форма (4.1.3) основного уравнения запишется теперь в виде

JV

2 (тпгХг — Хт) Аиг = 0, (14.3.3)

г=1

где At*—(конечная) вариация скорости и ее составляющие Ащ, Au2, . . . . . . . Aun удовлетворяют уравнениям

JV

2 4„Au. = О, г = 1, 2, .. ., L, (14.3.4)

s=I

JV

2Я„Лц, = 0, г=1, 2, L'. (14.3.5)

S=I

Коэффициенты Ars, Ers в этих линейных уравнениях постоянны, так что можно найти вариации At*, общие для всего интервала от Z1 до Z1 + т. Выберем любую такую вариацию At*. Подставляя ее составляющие в уравнение (14.3.3) и интегрируя в пределах от Z1 до Z1 + т, находим

JV

2 {mr (Ur-Ur0) —Pr} Аиг = 0, (14.3.6)

S=I

где Рг — заданная составляющая импульса jxr dt. Величина т здесь считает-

tx

ся пренебрежимо малой, а ито и ит обозначают значения хт в моменты Z1-O и Z1 + 0. Уравнение (14.3.6) будем называть основным уравнением движения системы.

248

ТЕОРИЯ УДАРА

[Гл. XIV

В случае неимпульсивных связей основное уравнение можно написать, используя вместо больших конечных сил, действующих в течение короткого промежутка времени, соответствующие импульсы. Рассуждения остаются в этом случае точно такими же, как при выводе основного уравнения в случае конечных сил (§ 3.1). Если через P1- обозначить составляющую заданного импульса активных сил, а через Р'т — составляющую импульса реакции связи, то можно написать

mT (ur — uj0) = Pr + P'r, г = 1, 2, . . ., N. (14.3.7)

Импульсы реакции связи удовлетворяют теперь уравнению

S^rAUr = O1 (14.3.8)

г=1

и из уравнений (14.3.7) и (14.3.8) следует уравнение (14.3.6). Такой метод, однако, не очень удобен в случае, когда имеются импульсивные связи.

§ 14.4. Катастатическая система. При использовании основного уравнения (14.3.6) важно знать класс Au, для которых это уравнение справедливо. Такие вариации удовлетворяют равенствам (14.3.4), (14.3.5). Рассмотрим их более подробно для случая катастатических систем.

1) В случае отсутствия импульсивных связей уравнения (14.3.4), удовлетворяемые вариациями скоростей, идентичны с уравнениями, удовлетворяемыми самими скоростями:

1]Л„«. = 0, г=1, 2, L. (14.4.1)

S=I

G другой стороны, уравнения (14.4.1) и (14.1.7) идентичны, поскольку нулевая скорость принадлежит к классу возможных скоростей. Поэтому в основном уравнении можно писать TJ вместо Au, считая U(Ui, U2, ¦ ¦ ¦ . . ., un) любым допустимым вектором скорости. Тогда основное уравнение примет весьма удобную форму:

jv

S /в, (иг - Ur0) ur = S prur (14.4.2)

г=1

или, если опустить индексы,

2 т (и — U0) U = 2 ри. (14.4.3)

2) Рассмотрим теперь катастатическую систему, на которую наложена связь первого типа. Уравнения, которым удовлетворяет Am, в точности совпадают с уравнениями, которым удовлетворяет U, где U — любой вектор скорости, допустимый для системы с наложенными связями. Основное уравнение при этом записывается так:

jv

2 mr (Ur-Ur0) ur = 0. (14.4.4)

Классом допустимых значений U является класс допустимых скоростей в момент ti + 0.

3) Наконец, рассмотрим случай, когда на систему наложена связь второго типа. Система с такими связями, конечно, уже не будет катастатической после наложения связи. Все коэффициенты ет в уравнениях (14.2.1) равны нулю в момент ti — 0, и уравнения (14.3.4), (14.3.5), которым удовлетворяет At*, в точности совпадают с уравнениями, которым удовлетворяют скорости, допустимые в момент, непосредственно предшествующий наложению связи. Основное уравнение записывается в форме

jv

2 пгТ (иг — Ur0) иг = 0, (14.4.5)

г=1

§ 14.5] ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ПРИНУЖДЕНИЯ В ТЕОРИИ УДАРА

249

причем классом допустимых значений XJ является класс возможных скоростей в момент Z1 — 0.

§ 14.5. Принцип наименьшего принуждения в теории удара. Рассмотрим катастатическую систему и будем предполагать, что в момент Z1 прилагаются заданные импульсы или накладываются связи первого типа или же осуществляется и то и другое одновременно. Докажем, что значения скоростей и в момент Z1 -f- 0 (т. е. непосредственно после приложения импульсов) определяются из условия, что выражение

?4^(«-?-?2, (14.5.1)

рассматриваемое как функция от и, принимает минимум в классе скоростей допустимых в момент Z1 + 0 (и0, как обычно, обозначает систему скоростей, в момент Z1 — 0, т. е. непосредственно перед приложением импульсов). Эта теорема аналогична принципу наименьшего принуждения Гаусса в случае конечных сил (§ 4.3).

Доказательство очень простое. Если и — действительная система скоростей в момент Z1 -f- 0, а и + Au— любая другая возможная система скоростей в этот же момент времени, то имеем

А©= у 2т {(и+ZbU-U0-^y-(U-U0-J)'} = 2 т (и—щ — Aj Au +Y 2 /ге(Аи)2. Отсюда, учитывая (14.3.6), получаем
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed