Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
В теории удара удобно пользоваться второй формой (4.1.3) основного уравнения:
JV
S (гпг'х'г —Хт)Аиг = 0. (14.1.6)
г=1
Конечные вариации скорости Au удовлетворяют уравнению (4.1.2):
JV
^)Ar8Au3 = O, г = 1,2, ...,_/, (14.1.7)
и так как коэффициенты Ars постоянны, то можно указать системы Ащ, Au2, . . ., Aun, удовлетворяющие уравнениям (14.1.7) в течение короткого промежутка времени от ti до tt + т.
Мы воспользовались второй формой основного уравнения, до сих пор почти не употреблявшейся, так как с эстетической и логической точек зрения удобнее оперировать с вариациями скорости, нежели с виртуальными перемещениями; это объясняется тем, что в рассматриваемых задачах координаты частиц остаются постоянными.
246
ТЕОРИЯ УДАРА
[Гл. XIV
Задачи на удар в математическом отношении проще, чем задачи с конечными силами. Уравнения для определения скоростей в момент Z1 + 0 являются линейными алгебраическими уравнениями, тогда как задачи с конечными силами приводятся к дифференциальным уравнениями. В общем случае решение задач на удар не встречает особых затруднений.
§ 14.2. Импульсные связи. В предыдущем параграфе мы рассматривали задачу, в которой механическая система, подвергаемая действию ударных импульсов, принадлежала к типу, рассматривавшемуся в § 2.2.
Рассмотрим теперь некоторые новые типы систем, не встречающиеся в задачах с конечными силами.
В уравнениях связи (2.2.4), изучавшихся до сих пор, коэффициенты ATS, A7 считались функциями, принадлежащими классу C1; это были непрерывные функции положения и времени. Введем теперь связи, описываемые уравнениями
N
JO, ErJ:.+Ег = 0, г=1, 2, .... L', (14.2.1)
S=I
в которых коэффициенты ETS, Ег терпят разрывы в момент Z1. Подобные связи будем называть импульсивными. Коэффициенты уравнения (14.2.1) непрерывны до момента Z1 и после этого момента, но в момент Z1 они претерпевают разрыв. Фактически в этом случае мы имеем две системы (постоянных) значений коэффициентов: значения при Z1 — 0 и значения при Z1 + 0.
Практически наиболее часто встречаются связи двух следующих типов:
1) Связи первого типа. Эти связи описываются уравнениями
N
2 Ersxs =0, г = 1, 2, •••, L',
S = I
и накладываются внезапно в момент Z1. Коэффициенты Ет в уравнениях (14.2.1) при этом тождественно равны нулю, а коэффициенты Ers равны нулю в момент Z1 — 0. Наложение связи такого рода фактически уменьшает число степеней свободы системы.
Простым примером связи первого типа может служить движущаяся частица, ударяющаяся в момент Z1 о гладкую неупругую неподвижную
плоскость X = X0. Связь в этом случае описывается уравнением х = 0 в момент Z1-J-O.
2) Связи второго типа. Эти связи определяются уравнениями (14.2.1), в которых коэффициенты Ета непрерывны (фактически постоянны), а все коэффициенты Ет равны нулю в момент Z1 — 0 и, вообще говоря, отличны от нуля в момент Z1 + 0. При этом число степеней свободы системы остается неизменным.
В качестве простого примера связи второго типа укажем на движение по гладкой плоскости х = х0, которая в момент Z1 внезапно приходит в движение со скоростью U в направлении оси Ох. Уравнение связи х = 0 в момент
h — 0 уступает место уравнению х — U = 0 в момент Z1 + 0.
Теоретически можно представить себе задачу, в которой заданные импульсы и импульсивные связи прикладываются одновременно в момент Z1. Однако на практике чаще всего возникают задачи двух типов: 1) задачи, в которых на систему действуют заданные ударные импульсы, а наложенные связи конечны (т. е. не импульсивные); 2) задачи, в которых па систему не действуют ударные импульсы активных сил, но имеются импульсивные связи. Однако при выводе основного уравнения движения системы мы для удобства будем считать, что заданные импульсы и импульсивные связи действуют
S 14.3] ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ, HA КОТОРУЮ ДЕЙСТВУЮТ УДАРНЫЕ ИМПУЛЬСЫ 247
в один и тот же момент времени; это позволит охватить оба класса задач единой теорией. (Конкретная иллюстрация одновременного действия заданных импульсов и импульсивных связей дается в § 14.6, где говорится о теоремах Карно и Бертрана.)
Рассматриваемые здесь импульсивные связи, разумеется, не следует путать с импульсами реакций связи, о которых была речь в § 14.1.
§ 14.3. Движение системы, на которую действуют ударные импульсы. Основное уравнение теории удара. При выводе основного уравнения в случае конечных сил мы рассматривали сначала простейшую систему, состоящую из одной частицы. Здесь мы сразу перейдем к общему случаю механической системы. Задача будет трактоваться как предельный случай задачи с конечными силами, и, как уже указывалось, заданные импульсы и импульсивные связи будут вводиться одновременно.
Рассмотрим промежуток времени от Z1 до Z1 + т, в течение которого на систему действуют конечные силы. Этот промежуток времени будем считать столь малым, что коэффициенты в конечных уравнениях связи
% А„и. +Аг = 0, г=1, 2, L, (14.3.1)
S=I
в течение этого времени можно принять постоянными. Уравнения импульсивных связей можно получить из конечных уравнений
