Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
офл = a ((X)1- cu203 + со302) = —у — (хА- aQ2) Q3 + ?02,
(13.6.7)
аф2 = a (a2Ar Co1O3) =x — yQ3, аф3 = a (CO3 — CO1O2) = ? + yQ2,
ГДЄ І = (2CO3.
Функцию Гиббса теперь можно выразить через составляющие ускорения
х, у, І:
2®
M
= (х- 2yQ3 - XQ2Y Ar (у A- 2xQ3 - yQ\ + а0203)2 +
+ 4 (х- yQ3Y + 4 (уAr xQ3- ?02 + а0203)2 +1 (? + ф2)2. (13.6.8)
Чтобы вычислить работу заданных сил на виртуальном перемещении, можно рассмотреть момент силы тяжести относительно точки соприкосновения. Напомним, что при виртуальном перемещении плоскость остается в покое. Еще проще, если заметить, что совершаемая работа равна —8V, где V = Mgy sin а. Таким образом, работа заданных сил на виртуальном перемещении будет равна
— (Mg sin а) Ьу. (13.6.9)
Теперь можно написать уравнения движения:
х — 2yQ3-xQ?Ar 4 (х- yQ3) = 0, (13.6.10)
у + 2xQ3 - yQl A- OQ2Q3 А- | (y'+ xQ3 - ?02 + аО203) = - g sin а, (13.6.11)
'i+y&t = 0. (13.6.12)
Из (13.6.12) находим
I + ?У02 = const. (13.6.13)
15*
228
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИББСА — АППЕЛЯ
[Гл. XIII
Исключая ? из (13.6.13) и (13.6.11), получаем уравнения, определяющие х и у как функции от t. Их можно представить в следующей форме:
Ix - 12Qy cos а - 5Q2x = 0,1 ^
7JH- 12Qx cos а — (7 cos2 а — 2) Q2I/ + ц = 0. J
Входящая сюда постоянная п определяется следующим образом:
t1 = (5g — 2<mQ + 7aQ2 cos a — 26Q2 sin a) sin a, (13.6.15)
где 6 есть значение у при і = 0, an — значение со3 в этот момент времени. Если 7 cos2a ф2, то, изменяя начало координат, можно получить линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Уравнения (13.6.14) можно проинтегрировать до конца, если задаться
начальными значениями х, у, х, у. Задача § 13.5, в которой Z = Y = O, является частным случаем рассматриваемой; она получается при а = 0. Сравнение результатов провести нетрудно, хотя в § 13.5 ответ получен в несколько иной форме, поскольку оси там не вращались.
§ 13.7. Качение шара по неподвижной поверхности. Будем предполагать, что поверхности идеально шероховатые, чтобы не допустить скольжения. Таким образом, будем считать, что имеет место чистое качение. Возьмем подвижные оси координат Gl, G2, G3 с началом в центре шара G. Будем предполагать, что шар твердый и однородный или во всяком случае, что центр тяжести его совпадает с геометрическим центром, а эллипсоид инерции в этой точке представляет собой сферу. Ось G3 направим вдоль прямой, соединяющей точку соприкосновения шара с центром шара; тогда координаты точки соприкосновения будут (0, 0, —а), где а — радиус шара. Условия качения запишутся в виде
щ = асо2, U2 = —ащ, и3 = 0, (13.7.1)
где и — скорость центра тяжести G, а ю — угловая скорость шара. Составляющие ускорения точки будут равны
Z1 = U1 — U2O3 + U3O2 = a (co2 + CO1O3),
Z2 = M2-U3B1-J-U1O3= —«(CO1-CO2O3), У (13.7.2)
f S = U3- U1B2 + U2G1 = — a (CO2B2 + Co1B1). _ Составляющая J3 несущественна, так как не содержит сог. Следовательно @ = у ЛХф?+<Р22+ф!) + IMa2^1-CO2O3)2+ у Ma2 (Co2+ CO1B3)2. (13.7.3)
Если момент заданных сил относительно точки соприкосновения обозначить через N1 то работа, совершаемая на виртуальном перемещении, будет равна
NMr + N2bq2 + N36q3, (13.7.4)
где qr = (от. Число степеней свободы системы равно трем, и функция @
выражена нами через три переменные д, так что уравнения движения записываются в следующей форме:
2?- = Nr, г =1,2,3. (13.7.5)
§ 13.7]
КАЧЕНИЕ ШАРА ПО НЕПОДВИЖНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
229
Отсюда получаем
Ap1 + Ma2 (Cu1 — Co2O3) = JV1,
Лф2 + Ma2 (co2 + CO1O3) = TV2,
A(f3=N3. ,
(13.7.6)
Обозначив сумму А + Ma2 через В (тогда В будет моментом инерции шара относительно касательной), перепишем уравнения движения. (13.7.6) в форме
В (CO1 —CO2O3) + Aa3Q2 = VV1, В (со2 + CO1O3) - Ao3O1 = vV2, A (CO3- Co1O2 + Cu2O1) = N3. ,
іїрибая у есть Z
линия пересечения катящейся с/реры плоскостью ZOS
'<?/
(13.7.7)
Рассмотрим конкретный пример: качение однородного твердого шара радиуса а х' по внешней стороне неподвижной сфериче- рис- 38
ской поверхности радиуса с — а. Выберем
оси так, как показано на рис. 38 (ось G2 горизонтальна). Имеем
CO1 = Ie11 CO2 = IO,, (13.7.8)
VV1 = O, vV2 = Mgasin0, vV3 = 0. (13.7.9)
Последнее уравнение (13.7.7) показывает, что со3 = const, скажем
Co3 = п. (13.7.10)
Два первых уравнения (13.7.7) теперь принимают вид
В I (Q1-Q2Q3)-'г AnQ2 = O,
Bl(Q2 + O1O3) — AnQx = Mga sin 0.
Угловая скорость подвижной системы осей имеет составляющие
O1 = —ф sin 9, O2 = О, O3 = ф cos 0. Для однородного твердого шара имеем
В Мої
(13.7.11)
(13.7.12) (13.7.13)
А__ _ _
2 ~~ 7 — 5
Подставляя эти значения в (13.7.11), получаем
Ic (ф sin 8 + 20ф cos 0) — 2аи0 = 0, (13.7.14)
7с (0 — ф2 cos 0 sin 0) + 2ащ sin 0 = 5g sin 0. (13.7.15)
Эти уравнения определяют значения 0 и ф для любого момента времени. Умножая уравнение (13.7.14) на sin 0 и интегрируя, получаем
