Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
то равенство а = ? имеет место лишь в том случае, когда D=B. Отсюда получается соотношение
п2 = 2ВТ, (13.12.11)
связывающее момент количеств движения г] и кинетическую энергию Т. Если выполняется равенство (13.12.11), то а = ? = Q и уравнение (13.12.9)
§ 13.12]
СВОБОДНОЕ ТЕЛО; ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
237
принимает вид
со; =
(A-B) {B-C) AC
(Q2-«2)2
(13.12.12)
График правой части уравнения (13.12.12) представлен на рис. 42. Согласно результатам § 1.2, в данном случае по переменной O)2 осуществляется лимитационное движение, так что при t-^-oo либо со2—»-+Q, либо Co2 —>- —Q.
Линия пересечения эллипсоидов (13.12.3) и (13.12.4) лежит в плоскостях
А (А -В) со2 = С (В — С) со2 (13.12.13)
и состоит из двух эллипсов. Вектор о> в начальный момент располагается в одной из этих плоскостей. Предположим для определенности, что
или, более подробно,
cbi < 0, Co2 = 0, Co3 > О,
CO1
rBiA — R) С (A-C)'
(13.12.15)
Из уравнения (13.12.8) следует, что со2 первоначально возрастает, следовательно, CO2 все время монотонно возрастает, стремясь к Q при t—v оо. Чтобы определить Co2 как функцию от t, положим
Co2 = Q th 8.
Подставляя это выражение в уравнение (13.12.12), находим
в = nt,
где
(A-B) (B-C) AC
Таким образом,
Co2 = Q th nt,
(13.12.16) (13.12.17) (13.12.18) (13.12.19)
и из (13.12.6) находим Co1 и со3:
со
і=-|/ *|*_gQ8chnf, co3 = ]/g^_^QschttZ. (13.12.20)
Знаки этих величин определяются начальными значениями: Co1 всегда отрицательно, a Co3 всегда положительно. При t —»- оо величины O)1 и со3 стремятся к нулю, так что движение приближается к равномерному вращению с угловой скоростью Q около оси G2.
2) а Ф§. При этом условии D фВ. Полином /(со2) в правой части равенства (13.12.9) имеет четыре простых нуля (рис.43), и так как величина | со2 | меньше, чем наименьшая из величин а и ?, то мы имеем либрацию по переменной Co2 между значениями ±а (если а < ?) или между значениями ±? (если ? < а). Чтобы пояснить это, предположим для определенности, что а < ?; это неравенство выполняется, если D <.В. Таким образом, будем
А
-ос
? *
Рис. 43.
238
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИББСА — АППЕЛЯ
[Гл. XIII
иметь
A>B>D>C. (13.12.21)
При этих условиях CO2 колеблется между пределами ±а, сої обращается в нуль, когда со2 = ±а, а со2 никогда не оказывается меньше, чем
^M-». («3.12.22,
так что (d3 сохраняет один и тот же знак в течение всего времени движения; для определенности будем считать, что при t = 0 Co3 > 0, и, следовательно, всегда Co3 > 0.
Величина CO2, как мы видели, колеблется между пределами ± а. Начало отсчета времени можно выбрать так, чтобы при t = 0.
(O2 = 0, Co2 > 0.
Так как
B(O2 = —(А — С) co3co1,
то в мо JT t = 0 имеем CO1 < 0. Начальные условия подобны тем, что были приняты ранее (см. (13.12.14)). Чтобы проинтегрировать уравнение (13.12.9), положим
CO2 = a sn и, (13.12.23)
причем
as (A-B)(D-C) /13 12 24)
К ?2 - (A-D) (B-C) ' (Id.12.24)
Подставляя в (13.12.9), получаем
¦2 = (А-ВЦВ-С) ?a = U-^g-O Q2 я ^ (13л2>25)
где п > 0. Таким образом, при принятых начальных условиях будем иметь
и = ге? (13.12.26)
и
co2 = а sn nt. (13.12.27)
Из (13.12.6) следует, что
•(A-C)
Окончательно получаем В
со3 = у^^—^Qdnni = 6dnnf. (13.12.28)
co1
A-C A=-V/T^|Qcn^=-V^^ (13.12.29) где ? > а > 7 > 0. Полное решение для со будет иметь вид
CO1 = —у en nt, CO2 = а sn nt, Co3 = б dn nt. (13.12.30)
Величина CO1 колеблется между пределами у и —у с периодом AKIn, со2 колеблется между пределами а и —а с тем же периодом AKIn, a со3 изменяется между пределами
*VWs - *VW^ (13.12.3«,
с периодом 2Klп.
§ 13.13. Ориентация свободного тела. Свободное движение твердого тела описывается уравнениями (13.11.1), и из этих уравнений мы определили
§ 13.13]
ОРИЕНТАЦИЯ СВОБОДНОГО ТЕЛА
239
угловую скорость тела в каждый момент времени, что дает своего рода внутреннее описание движения. Этот результат, однако, нельзя считать полным решением задачи, так как он не дает представления о том, что мы наблюдаем в действительности, т. е. не определяет истинной конфигурации системы в момент t. Это внешнее описание движения дается углами Эйлера в момент t относительно некоторой неподвижной системы координат.
Предположим, что центр тяжести G находится в покое, и упростим вычисления, направив ось Oz фиксированной системы координат' (О = G) вдоль вектора момента количеств движения, который, как мы знаем, остается постоянным. Составляющие вектора момента количеств движения по осям 01, 02, 03 тогда определятся следующими формулами (см. (7.11.1)):
A(Oi = DQ cos Z1 = —DQ sin 8 cos ар, (13.13.1)
Ba2 = DQ cos z2 — DQ sin 8 sin яр, (13.13.2)
Cco3 = DQ cos Z3 = DQ cos 8. (13.13.3)
Уравнение (13.13.3) вместе с решением (13.12.30) определяют угол 0 в зависимости от времени:
Так как
(A-C) (В--Д) МЯ1Я5>
- (A-D)(B-C) ' (M.ld.OJ
а , УС (A-D)
