Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь штрихи обозначают производные функции А (q) по обобщенной координате q.
В этом параграфе рассматривается частный, но практически очень важный случай малых колебаний системы около положения ее равновесия; отсчет координаты q удобно вести от этого положения. При малых значениях q в разложении можно удержать лишь один первый член, который обозначим через а; тогда кинетическая энергия примет вид, сходный с выражением кинетической энергии одной материальной точки:
Входящий сюда множитель а называют коэффициентом инерции или инерционным коэффициентом (иногда его называют также обобщенной или приведенной массой).
Конечно, для определения инерционного коэффициента нет необходимости каждый раз фактически строить сумму (1.3), разлагать ее в ряд Маклорена и затем выделять первый член этого ряда. В зависимости от вида механической системы и выбора обобщенной координаты достаточно любым образом получить выражение кинетической энергии через квадрат обобщенной скорости; при
П
(1.3)
A(q) = A(0) + A'(0)q + ^q*+...
(1.4)
24
ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
этом значение а определится как коэффициент в выражении (1.4).
Обратимся теперь к определению потенциальной энергии П, которая представляет собой функцию обобщенной коордипаты q:
П = П(д). (1.5)
Если, как это чаще всего бывает, потенциальная энергия обладает свойствами непрерывности и дифференцируемости, то ее можно разложить в ряд Маклорена в окрестности значения q = 0:
П = П(0) + П'(0)д + ^1д2+ (1.6)
где, как и выше, штрихи обозначают дифференцирование по обобщенной координате q. Постоянному первому члену этого разложения может быть приписано любое значение, так как потенциальная энергия определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Поэтому удобно положить П (0) = 0. Далее нужно вспомнить соотношение
П ' = (1.7)
определяющее связь потенциальной энергии с обобщенной силой Q. Так как в положении равновесия обобщенная сила равна нулю, то при отсчете координаты q от
положения равновесия системы производная П'(0) обра-
щается в нуль; при этом разложение (1.6) начнется с члена, содержащего вторую степень координаты q. Считая перемещения q малыми, мы сохраним в разложении (1.6) только упомянутый член, так что окончательно получим
П = \cq\ (1.8)
где постоянная
с = U" (0) (1.9)
называется обобщенным коэффициентом жесткости или квагиущугим коэффициентом.
Знак постоянной с зависит от устойчивости положения равновесия, от которого ведется отсчет координатй q. Согласно теореме Лагранжа — Дирихле потенциальная энергня консервативной системы в положении устойчивого равновесия имеет минимум, т. е. П"(0)>0. Отсюда следует, что с > 0 вблизи устойчивого положения равновесия.
§ 1. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ
25
Для определения обобщенного коэффициента жесткости с в каждом конкретном случае достаточно построить выражение потенциальной энергии в виде квадратичной функции обобщенной координаты q, причем отсчет координаты q следует вести от положения равновесия и принять, что этому положению соответствует нулевое значение потенциальной энергии. Если окажется, что с < О, то это будет означать неустойчивость соответствующего положения равновесия.
Подставив в уравпение Лагранжа (1.1) выражепия
(1.4) и (1.8) для кинетической и потенциальной энергии, получим основное дифференциальное уравнение задачи
о свободных колебаниях:
aq + cq = 0. (1.10)
Иногда, в зависимости от вида механической системы, может оказаться более удобным не метод Лаграпжа, а какой-либо иной путь составления дифференциального уравнения задачи; разумеется, что независимо от выбранного способа для рассматриваемых здесь линейных систем с одной степенью свободы без трения окончательное дифференциальное уравнение запишется в виде (1.10).
Введем обозначение
к =/-?-, (1.11)
тогда вместо (1.10) получим
q + k2q = 0. (1.12)
Общее решение этого уравнения имеет вид
q = Ci sin kt + Ci cos kt, (1-13)
причем постоянные Ci и Ci определяются через начальные условия q(0)= q0 и q (0) = g0 в виде
C1 = \, C2 = q0.
Окончательно имеем
q = sin kt -f- q0cos kt. (1.14)
Иногда пользуются иной формой записи:
q = A sin(kt + а), (1-15)
26
ГЛ.. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
где
'-Vte
2
Qoi
к In
¦ arctg -J.
(1.16)
Из выражения (1.15) видно, что движение представляет собой незатухающие гармонические колебания с амплитудой А и угловой частотой к (рис. 1.1). Подчеркнем, что
амплитуда колебаний определяется начальными условиями по первой формуле (1.16), а угловая частота колебаний зависит только от параметров системы (см. формулу (1.11)) и не зависит от начальных условий; по этому признаку величина к называется собственной частотой системы. Собственная частота представляет собой число свободных колебаний за 2я единиц времени. Период свободных колебаний, т. е. длительность одного полного цикла колебаний, определяется формулой
Рис. 1.1
(1.17)
Пример 1.1. Определить собственную частоту системы (рис. 1.2), состоящей из упруго закрепленной горизонтально расположенной рейки А, которая лежит на упруго закрепленном однородном цилиндре В и катке С. Считать, что трение между рейкой и цилиндром исключает возможность проскальзывания рейки
