Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения стойки (для малых отклонений)
Gl Gl2 -
+ iV + ~2 ф — с0Ф = 3J ф.
Так как Ъ sin if = I sin ф, то при малых углах и ф можно при-пять if = фUb. Таким образом, обобщенный коэффициент жесткости равен
Отсюда непосредственно видно, что критическое значение силы P в соответствии с (1.30) определяется выражением
—1
При увеличении размера Ъ критическое значение Pkv также увеличивается.
Пример 1.7. Основой изображенной на рис. 1.8, а системы служит жесткая рамка 1, вращающаяся с постоянной угловой скоростью к» вокруг вертикальной оси. Горизонтальный стержень 2
4
1 го г
R R _
п
I а
п'п
m(l +r0 -RJat
Рис. 1.1
длиной 2R служит направляющей осью для пружины 3; один конец пружины связан с рамкой, а к другому концу прикреплен груз 4 массы т, который может скользить без трения вдоль стержня 2. Коэффициент жесткости пружины равен с0, а ее недеформи-рованная длина равна I. Найти критическое значение угловой скорости.
Положению относительного равновесия груза соответствует растяжение пружины на величину г0, которая может быть
38
ГЛ., I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
найдена из схемы сил, данной на рис. 1.8, б, т. е. из соотношения
то (I + г0 — R) О)2 = с0г0. (а)
Устойчивость этого состояния равновесия груза зависит от значений угловой скорости вращения системы.
Вращение системы примем за переносное движение, тогда движение груза вдоль стержня будет являться относительным движением. Обозначив через г дополнительное удлинение пружины в произвольный момент процесса движения, запишем переносную силу инерции в виде то (I + г0 + г — R) и2; тогда дифференциальное уравнение относительного движения груза примет вид
пгг = — с0(г0 + г) + т(1 + г0 + г — R) и2, или, при учете (а),
Jtir + (с0 — ти2) г = 0.
Следовательно, обобщенный коэффициент жесткости равен с = = C0 — тою2, и критическое значение угловой скорости составляет Икр = }'с0/т. Отметим, что оно не зависит от значений I и г0 и совпадает со значением собственной частоты колебаний груза на пружине при отсутствии вращения. При и > (оКр состояния относительно равновесия груза неустойчивы.
Пример 1.8. Показанная на рис. 1.9, а система представляет собой маятник и состоит из стержня
1 с горизонтальной осью подвеса 2 и груза 3. Горизонтальная ось маятника равномерно вращается с постоянной угловой скоростью и вокруг вертикальной оси, совпадающей с равновесным положением оси стержня. Найти критическое значение угловой скорости.
Введем следующие обозначения:
I — длина стержня, то — масса груза, ф — малый угол отклонения стержня от вертикали (рис. 1.9, б). В дифференциальное уравнение относительного движения маятника нужно ввести момент силы тяжести и момент переносной силы инерции:
—mgltp + tna>42(f = то/2 ф.
(Кориолисова сила инерции параллельна оси подвеса и в уравнение момёнтов не входит.) Таким образом, мы приходим к уравнению
ф+ ^~ї~ w j ф — Oi
из которого непосредственно видно, что критическая угловая скорость не зависит от массы груза и равна
Рис. 1.9
Икр = l/gjl.
§ і. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ
39
При (о < ш„р система устойчива, причем частота свободных колебаний определяется формулой
'=V
"кр-"2-
При и > (Окр состояние относительного равновесия неустойчиво.
В рассмотренных простых примерах по существу не было необходимости в составлении дифференциальных уравнений движения, так как для суждения об устойчивости и для определения критического значения параметра было достаточно построить выражение с (S). Однако для систем с несколькими степенями свободы — даже находящихся под действием только позиционных сил — исследование устойчивости требует предварительного составления дифференциальных уравнений движения (см. гл. IV).
Устойчивость состояний равновесия удобно исследовать также с помощью фазовых диаграмм. Отметим, что их можно построить и не решая заданное дифференциальное уравнение движения, т. е. не разыскивая закон движения q = q(t) в явной форме.
С помощью замены <7 = <7 ^ из (1.12) получается дифференциальное уравнение фазовых траекторий
37 = -? (1-31)
4 ч
После интегрирования мы вновь придем к уравнению (0.11) и к семейству эллипсов, показанному на рис. 0.9, в. Если с < 0, то после замены А* = — с/а получим вместо (1.31) дифференциальное уравнение фазовых траекторий
dq _ К1*
dq -q
Его решение имеет вид
‘2
„2 _ Ч__ _ 42
q к**-Лф
Фазовые траектории для этого случая показаны на рис. 1.10. Они состоят из семейства гипербол и четырех полупрямых, являющихся асимптотами этих гипербол.
40
ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Заданное возмущение состояния равновесия определяет начальное положение изображающей точки. С течением времени эта точка будет монотонно удаляться от начала вдоль соответствующей криволинейной. фазовой траектории: это означает монотонный уход системы от
ч и в о г о: достаточно любого сколь угодно малого нарушения указанного специально выбранного возмущения, как система станет неограниченно удаляться от состояния равновесия. В данном случае отвечающая положению равновесия особая точка (0, 0) называется седлом.
