Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Знак минус перед корнем выбран потому, что в рассматриваемом интервале движения (первый полупериод) обобщенная скорость отрицательна.
Дальнейшее интегрирование соотношения (3.4) дает время в функции обобщенной координаты q:
Если характеристика восстанавливающей силы симметричная, т. е. функция F(q) нечетная, то время перехода системы из крайнего положения Iqm^ = A) в положение равновесия (? = 0) составит четверть периода; следова-
в устойчивом положении равновесия маятнику сообщить достаточно большую начальную скорость v > 2VgZ, то начнется безостановочное вращательное движение с неизменным знаком обобщенной скорости. Впрочем, и в этом ротационном процессе можно заметить колебательные свойства, так как значение обобщенной скорости колеблется около некоторого среднего значения.
о
А
или
Q
А
2
jjf(g)dg = ~^F(q)dq. (3.‘6)
А
Q
/ \
(3.4)
Q Я
§ 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 61
л
-=?______
4 J Г--------Г
• V (1)1
1J Г А
° V (I)J
тельно,
А
dq ~А
F (?) dq
Я
соответственно частота свободных колебаний определяется формулой
А
ft = = я: 2 j —............¦¦ ¦ (8.6)
F (?)
я
Изложенное решение не дает возможности найти в замкнутом виде закон движения q(t), но приводит задачу определения частоты свободных колебаний к квадратурам. Во всех случаях для вычислений по формуле (3.6) эффективно использование ЭВМ, хотя иногда их можно завершить и в аналитической форме.
Остановимся на частном случае чисто нелинейной характеристики, которая не содержит линейного члена,
F (q) (3.7)
где P и п — постоянные. Последовательно паходпм
А
я
4 і
dy
Г_________________ лГап л 1—п Г________
° У -?2п) р °
и2 п
Заменив здесь ^2n = чр, получим для входящего сюда интеграла следующее выражение через гамма-функцию:
і
і
гі„, У~°ГШ
Окончательно по формуле (3.6) находим
7. T і/Р 4П-1 /о ON
62 ГЛ„ I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
где
г(і + і)
Г, M = іЛш V -- (9.9)
rN
Значения /* (п) даны в следующей таблице:
п 0,5 1 1,5 2 2,5
I* 1,1111 1,0000 0,9149 0,8472 0,7923
Из формулы (3.8) видно, что при пФ 1 частота свободных колебаний з а в и с и т от их амплитуды.
Типичная для нелинейных систем зависимость частоты от амплитуды не позволяет считать частоту параметром самой системы; поэтому для нелинейных систем обычно пользуются не термином «собственная частота», а термином «частота свободных колебаний».
Как мы видели, даже при сравнительно несложном виде зависимости (3.7) вычисления частоты приводят к пеэлементарным функциям. Чаще всего эти вычисления
приходится делать приближенно, так как входящий в формулу (3.6) интеграл не сводится к табулированным функциям. Однако в некоторых случаях, когда нелинейная характеристика восстанавливающей силы состоит из линейных участков (рис. 3.3), можно получить независимое от (3.6) точное решение задачи о свободных колеба-
§ 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 63
ниях, пользуясь способом поэтапного интегрирования (припасовывания).
Способ основан на последовательном решении ряда линейных задач, относящихся к отдельным участкам. Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, условий перехода от этапа к этапу и условий периодичности.
Пусть кусочно-линейная характеристика системы симметрична и состоит из п участков, границы которых определяются значениями координат q^, #23, • • • (в индексах указаны номера смежных участков, причем нумерация идет от крайнего участка к началу). Задаваясь, например, начальными условиями q(0)=A, q(0) = 0 и интегрируя линейное дифференциальное уравнение, относящееся к первому этапу, мы сможем найти время движения на первом этапе 1і и соответствующую концу этапа скорость q 12. Принимая известные значения q 12 и qn за начальные условия движения на втором этапе, можно найти время движения fo и скорость q23 в конце этапа. Наконец, на п-м этапе, которому соответствует проходящий через начало координат участок характеристики, можно найти время tn прохождения п-то этапа (от его начала qn-\,n до gr = 0). В данном случае па этом можно остановиться, так как ввиду симметричности характеристики и симметрии движения сумма найденных промежутков времени равна четверти периода свободных колебаний:
— tl jT jT • • • + tn-
Отсюда можно определить частоту свободных колебаний:
*=т—,(,1+. о.!*»
В случаях несимметричной характеристики необходимо продолжить определение отрезков времен tt, соответствующих отрицательным значениям координаты q. Вычисления заканчиваются в момент времени, когда обращается в нуль скорость q; сумма вычисленных таким образом отрезков времени равна полупериоду свободпых колебаний.
Конечно, уже при трех-четырех участках аналитические выкладки становятся громоздкими и необходимо обращаться к машинному счету на ЭВМ.
64
ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Изложенный способ, в принципе, можно применить и в тех случаях, когда заданная характеристика жесткости криволинейная; для этого нужно заменить ее ломаной, составленной из достаточно большого числа прямолинейных отрезков. Поскольку для дальнейших выкладок потребуются ЭВМ, здесь уместно напомнить, что с помощью ЭВМ можно организовать и непосредственное вычисление частоты свободных колебаний по ранее полученному выражению (3.6).
