Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
где if = hot — ф.
Из соотношений (2.35) и (2.38) можно найти следующие выражения для производных А и ф:
До сих пор все выкладки были вполне строгими, и лишь теперь делается упрощение, вносящее некоторую приближенность в решение. Предполагая, что рассматриваемая система близка к линейной, мы можем считать, что переменные А и ф не успевают получить заметных приращений за один цикл 2зх/&о и что производные А и
Ф постоянны в течение любого одного цикла. Поэтому, хотя эти производные выражаются сложными нелинейными функциями времени (2.39), не повлечет большой ошибки замена этих функций их средними за период 2п/к0 значениями:
Копечно, при интегрировании в правых частях величина А считается постоянной. Именно эта операция усреднения составляет существо метода медленно меняющихся амплитуд.
—Ak0 sin і]) + 4&0ф cos if = / [A cos ф, —Ako sin ip], (2.38)
о
(2.39)
(2.40)
§ 2. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ 53
Уравнения (2.40). запишем в более коротком виде:
ф-Щ (2-41>
(укороченные уравнения Ван дер Поля), причем
2П
Ф (А) = — [ / (A cos ар, — Ak0 sin ф) sin ф dip,
2Я 6 (2-42)
? (4) = J* / (A cos ф, — Ak0 sin ф) cos ф dip.
о
Таким образом, нужно прежде всего вычислить интегралы (2.42) в предположении, что А — постоянная вели7 чина. После этого интегрируются дифференциальные уравнения (2.41); конечно, на этом этапе выкладок уже признается, что величина А — переменная.
Возвращаясь к задаче о свободных колебаниях систем с нелинейным трением, образуем с помощью (2.33) выражения (2.42):
2Я
Ф(А) = — Г/ — 1 — Ak0sin ф|n_1 (— Ak0sinт|э)|sinфАр=
о
4MX (*.„+, 7
-------j-2- J sin 1 ф Л|э,
?(4) = 0.
Интеграл, входящий в выражение Ф{А), уже встречался выше и был обозначен через I(п) (см. (2.20)); следовательно
46AVl («)
Ф (А) =--------
Теперь согласно (2.41) получаем укороченное уравнение
2ЬАпкп~11 (»)
A =-----------------,
па
Если теперь заменить a = c/kof то мы вновь придем к уравнению (2.24), полученному выше методом энергетического баланса в предположении, что к«к0. Следовательно, дальнейшее решение приведет вновь к уравнению для огибающей (2.28).
54
ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Хотя в данном случае метод медленно меняющихся амплитуд не дал новых результатов, но ниже мы увидим, что он окажется весьма полезным при решении других нелинейных задач.
3. Гистерезисное трение. При циклическом деформировании упругих тел, даже при малых напряжениях наблюдается некоторое нарушение закона Гука, выражающееся в появлении петли гистерезиса', на рис. 2.7 показана такая петля в координатных осях напряжение а — деформация е. Расположенная внутри петли гистерезиса площадь диаграммы определяет энергию, рассеиваемую за один цикл колебаний в единице объема материала. Так как расстояния между ветвями обычно весьма малы, точную форму петли в экспериментах установить затруднительно. В то же время площадь петли может быть определена достаточно надежно. Установлено, что площадь петли гистерезиса для большинства конструкционных материалов практически н е зависит от темпа деформирования (т. е. от частоты процесса), но зависит от амплитуды деформации.
Сказанное справедливо и по отношению к целой конструкции: рассеиваемая за один цикл в конструкции энергия Q не зависит от частоты колебаний, по связана с их амплитудой. Эта зависимость обычно принимается в форме
Q = aAn+l, (2.43)
где сс и п — постоянные, определяемые из экспериментов.
Такая зависимость принципиально отличается от внешне сходной с ней зависимости (2.21), в которую входит амплитуда колебаний тоже в степени п + 1, однако в выражение (2.21) входит также и частота к, от которой не зависит коэффициент а выражения (2.43).
Для определения закона, описывающего затухание колебаний при гистерезисном трении, вновь воспользуемся уравнением энергетического баланса и приравняем рассеиваемую энергию (ее следует взять со знаком ми-
§ 2. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ
55
нус) приращению энергии (2.22) за один период: —а Ап+1 = сААА.
Отсюда следует уравнение в конечных разностях
которое, как и (2.23), можно заменить дифференциальным уравнением
После интегрирования этого уравнения при начальном условии A(O) = Ao получим
Отметим, что в частных случаях п = О, п=1, п = 2 здесь вновь получаются результаты, схематически показанные выше на рис. 2.5. Любопытно, что при гистере-зисном трении также может получиться экспоненциальная зависимость A (t) (если п= 1), которая типична для случая линейного вязкого трения.
Наконец, укажем, что кулоново трение можно считать не только частным случаем нелинейного трения (2.17), но и частным случаем принятой здесь основной зависимости (2.43); в обоих случаях оно характеризуется значением п = 0.
4. Ударное демпфирование. В некоторых системах основной причиной затухания колебаний является не непрерывное действие сил трения, а мгновенные потери энергии при соударениях. Рассмотрим случай, когда такие соударения происходят всякий раз, когда система проходит через положение равновесия, причем мгновенная потеря энергии пропорциональна энергии системы перед соударением. В этом случае мгновенную потерю энергии удобно представить через скорость системы V перед соударением;
