Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
(2.45)
Q = bv2,
(2.46)
где Ъ — некоторый постоянный коэффициент, имеющий размерность массы.
56
ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Рассмотрим какой-либо полуцикл колебаний, который начинается при наибольшем отклонении ^4(0).
В течение первой четверти цикла система движется
I
с постоянной энергией -JC^2(O), и квадрат скорости в
конце этой четверти цикла равен v2 = A2 (0). После
этого происходит соударение и вследствие этого — мгновенная потеря энергии на величину (2.46); далее система начинает движение, обладая энергией
........... (2-47)
сА2 (0)
Ьс42(0)
которая остается постоянной в течение всей второй четверти цикла. Поэтому, в момент, завершающий эту четверть цикла, потенциальная энергия равна величине (2.47):
сА (Г/2)
сA2 (0)
2 2
Отсюда находим отношение отклонений в начале и конце первого полуцикла:
A(O)__________1
A(TIZ) "j/i — 2 Ь/а
Для следующего полуцикла аналогично можно получить А (Т/2) _ 1
A (T) ~ J/1 ~2ЬМ'
Сравнивая наибольшие отклонения -4(0) и A(T), находим
Л(0) 1
A (T) ~~ 1 — 2Ь/а’
(2.48)
т. е. отношение последовательных наибольших отклонений является постоянной величиной. Отсюда можно заключить, что огибающая кривой затухающих колебаний представляет собой экспоненту
A =A0e~ht,
которая характеризуется логарифмическим декрементом
1
A = hT = ln
1 — 2 Ь/а
§ 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 57
При малых отношениях 2Ъ[а можно принять
Л«2 Ь/а. (2.49)
Фазовая диаграмма для рассматриваемого процесса представлена на рис. 2.8; она состоит из отрезков оси q и эллиптических дуг.
§ 3. Системы с одной степенью свободы
при нелинейной восстанавливающей силе
1. Общие понятия. В некоторых случаях перемещения при колебаниях могут быть настолько значительными, что в разложении потенциальной энергии (1.6) необходимо учитывать не только член, содержащий q2, но и последующие члены. Иногда разложение (1.6) вообще не содержит квадратичного члена и начинается с члена выше второй степени. Отметим также, что в некоторых системах потенциальная энергия, соответствующая положению равновесия, не имеет аналитического минимума и вообще непредставима в виде (1.6).
Во всех этих случаях обобщенная восстанавливающая сила нелинейна и соответственно, нелинейно дифференциальное уравнение движения.
Простейшим примером может служить задача о больших колебаниях математического маятника (рис. 3.1).
Если принять за обобщенную координату ср угол отклонения маятника от вертикали, то переменная высота h, на которой находится груз, равна
h = l(i — cos ф),
соответственно потенциальная энергия определяется выражением
П = mgh = mgl( 1 — соэф).
При весьма малых значениях ф можно принять
. ф2 COS ф та 1 —
после чего потенциальная энергия оказывается квадратичной функцией обобщенной координаты ф, и мы приходим к линейной задаче.
58
ГЛ.. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Такое представление становится недостаточно точным при значительных углах отклонения. Для точного решения нужно подставить в уравнение Лагранжа (1.1)
9П , . щ = mgl sin ф.
Так как кинетическая энергия равна
т _ 772 Z2q>2
2 ’
то согласно (1.1) получится нелинейное дифференциальное уравнение
Ф + -у sin ф = 0.
В более общем случае дифференциальное уравнение имеет вид
aq + F(q) = 0, (3.1)
где
представляет собой взятую с обратным знаком обобщенную восстанавливающую силу, являющуюся нелинейной функцией координаты q.
Зависимость F(q) называют квазиупругой характеристикой. или характеристикой жесткости. На рис. 3.2 показаны некоторые нелинейные системы с одной степенью свободы и соответствующие им характеристики жесткости. Среди приведенных здесь характеристик можно выделить характеристики симметричные (рис. 3.2, а, б, в) и несимметричные (рис. 3.2, г), характеристики с разрывами (рис. 3.2, в), характеристики гладкие (рис. 3.2, а) и ломаные (рис. 3.2, б, в, г).
2. Точные решения. В отмеченных выше случаях исследование свободных колебаний сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения (3.1). Выразив обобщенное ускорение через обобщенную ско-* dq
рость q = q получим вместо (3.1) уравнение первого порядка, связывающее скорость q с координатой q:
§ 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 59
Предположим, что система совершает колебательное движение, и выберем за начало отсчета времени момент, когда обобщенная скорость равна нулю и достигается
г(ч)
Рис. 3.2
наибольшее отклонение системы от положения равновесия (Sfmax = -A)*).
*) При немонотонных зависимостях F(q) и больших начальных возмущениях может оказаться, что обобщенная скорость в нуль никогда не обращается. Так, например, если находящемуся
60
ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Разделяя переменные в уравнения (3.2) и интегрируя его, имеем
Это соотношение выражает закон сохранения энергии: кинетическая энергия в произвольный момент равна убыванию потенциальной энергии при переходе системы из крайнего положения в рассматриваемое. Из (3.3) находим обобщенную скорость в функции координаты:
