Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пановко Я.Г. -> "Введение в теорию механических колебаний" -> 10

Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.

Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний — Москва, 1980. — 252 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriumehkolebaniy1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 73 >> Следующая


I I I 1

T= тх* + Y тх\ + ~2 тхз = “2 mxi (l + “2 + P2X
30 ГЛ. Г. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

а потенциальная энергия системы — через единственную обобщенную координату Xi:

11 = J cOxI + Y cO (Х2 - xI? + T cO (Х3 ~ =

= TVi[1+ (“-1)2 + (P-а)8].

Следовательно, коэффициенты уравнения (1.13) в данном случае равны

а = т( 1 + а2 + р2); с = с0 [1 + (а — I)2 + (р — а)2] и собственная частота определяется выражением:

= -2'- ~'2 Ta ту

¦ + (и — 1) + (Р — cO

2

: + от + р

Конечно, этот результат зависит от выбранных значений аир. Если рассматривать частоту как функцию а и р, то согласно упомянутой теореме Рэлея минимум этой функции определяет истинное значение искомой частоты; по этому поводу см. ниже более простой пример 1.3.

Остановимся на случае свободных изгибных колебаний балок*). Прогиб у любой точки осп балки с абсциссой X меняется во времени, т. е.

У ~ у{х, t). (1.18)

Согласно основной идее метода Рэлея примем

y = q{t)f{x), (1.19)

где f(x) — заранее назначаемая функция координаты х, характеризующая форму изогнутой оси балки при колебаниях, q(t)—некоторая, пока неизвестная, функция времени.

Так как функция f{x) задается более или менее произвольно, то результат решения задачи окажется, как правило, приближенным (если случайно в качестве f(x) будет принята истинная форма оси балки при колебаниях, то результат окажется точным).

Форму оси следует выбирать с учетом заданного способа закрепления балки, которым определяются граничные условия для функции f(x).

Различаются кинематические и силовые граничные условия. Рассмотрим эти условия в частных случаях, обозначив через х% абсциссу рассматриваемого конца балки.

*) Предполагается, что читатель изучал сопротивление материалов и знаком с теорией изгиба балок при статических нагрузках.
S 1. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ

31

На жестко заделанном конце балки невозможны прогиб п поворот, т. е.

y(xt,t) = 0, -?(**, t) = 0.

Эти равенства должны удовлетворяться в любой момент времени, что будет иметь место, если входящая в

(1.19) функция j (х) удовлетворяет условиям

f(Tt) = 0, г (Xt) = O. (1.20)

Здесь штрихом обозначена операция дифференцирования по координате х. Оба условия (1.20) — кинематические, т. е. относятся к перемещениям концевого сечения.

Если конец X = а* хн а р и и р н о оперт, то на этом конце должны тождественно равняться нулю и прогиб и изгибающий момент *)

у(х^ I) = 0, ?4(xt, t) = 0.

OX

Отсюда следуют граничные условия для функции j(x):

f (Xt) = 0, f" (Xt) = O. (1.21)

Первое из этих условий — кинематическое, второе условие — силовое.

Наконец, на свободном конце X = Xie должны равняться нулю изгибающий момент и поперечная сила, т. е.

^(xt, t) = 0, (ж*, 0 = 0.

При этом должны удовлетворяться два силовых грани • ных условия:

/>*) = 0, Г (Xt) = O. (1.22)

Далее будем полагать, что функция f(x) выбрана с учетом тех или иных заданных граничных условий; обратимся к определению кинетической и потенциальной энергии.

*) Здесь необходимо вспомнить соотношения теории сопротив-д2у (ру

ления материалов: M = EJ —Q = EJ—§, где M — изгибаю-

щий момент, Q — поперечная сила, EJ — жесткость сечения при изгибе.
32 ГЛ., I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Скорость поперечного движения любой точки оси балки определяется выражением

Щ- = я (0 / (*)•

Соответственно кинетическая энергия бесконечно малого элемента длиной dx равна

— т (X) dx ^ ^ ^x'

Здесь т(х)—интенсивность распределенной массы, m(x)dx—масса расматриваемого элемента. Интегрируя по всей длине I, находим полную кинетическую энергию балки

і

T = |* т (х) /2 (х) dx. (1.23)

о

Сравнивая полученный результат с общим выражением

(1.4) для кинетической энергии, приходим к заключению, что входящий в (1.23) интеграл представляет собой инерционный коэффициент:

і

a = J т(х) /2 (x)dx. (1-24)

о

Для определения потенциальной эпергии нужно исходить из выражения

п=-Пг/(г),Л;'

о ' '

которое устанавливается в курсе сопротивления материалов. Подставляя сюда

находим

і

П = f EJ [/" (X)]2 dx.

О

Из сравнения этого результата с выражением (1.8) еле-
§ 1. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ 33

дует, что коэффициент жесткости определяется формулой

I

с = j EJ If (х)]Чх. (1.25)

о

После определения коэффициентов а и с по формулам (1.24) и (1.25) собственная частота находится согласно (1.11) в виде

Г~х

j EJ (x)[f"(x)fdx

S----------------. (1.26)

j" т (х) /2 (х) dx

о

Можно доказать, что если функция f(x) удовлетворяет заданным кинематическим граничным условиям, то приближенный результат (1.26) всегда больше истинного значения низшей собственной частоты балки.

Метод Рэлея может быть использован для приближенного определения низшей собственной частоты любой системы с распределенными параметрами — не только балок, совершающих изгибные колебания, но и стержней при их продольных или крутильных колебаниях, а также — с соответствующей модификацией — рамных конструкций, пластин и оболочек.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 73 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed