Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пановко Я.Г. -> "Введение в теорию механических колебаний" -> 7

Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.

Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний — Москва, 1980. — 252 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriumehkolebaniy1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 73 >> Следующая

20

ВВЕДЕНИЕ

чающихся друг от друга только параметром А (рис. 0.9, в). Направления движения изображающих точек вдоль фазовых траекторий показаны на рисунках стрелками. Все фазовые траектории системы однотиппы, а начальные условия фиксируют определенный выбор конкретной траектории.

Совокупность фазовых траекторий описывает все возможные движения данной системы и называется фазовой диаграммой (фазовым портретом) данной системы. Структура фазовой диаграммы наглядно характеризует качественные особенности возможных движений рассматриваемой системы.

Следует иметь в виду, что фазовая диаграмма не только может служить иллюстрацией закона движения, после того как он найден путем интегрирования дифференциального уравнения задачи. В принципе фазовая диаграмма может быть построена непосредственно, по этому уравнению, без его решения в виде q = q(t).

Так, для автономной системы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением

q + k2q = f(q, q), (0.12)

' do

после замены q = q-j^- получается уравнение

й= f(q, (0ЛЗ)

q q

которое определяет искомую связь между переменными q и q. В принципе решение этого дифференциального уравнения первого порядка имеет вид

q = q(q, С), (0.14)

где постоянная С определяется начальным условием q — qo при q=qo (qo и q0—начальные значения обобщенной координаты и обобщенной скорости). Каждому значению С соответствует определенная фазовая траектория, а совокупность таких траекторий образует фазо-вую диаграмму системы.

В некоторых случаях дифференциальное уравнение (0.13) удается решить аналитически в замкнутой форме; в частности, к квадратурам приводится случай, когда выражение f(q, q) не содержит q, и переменные в (0.13)

разделяются. В общем случае для интегрирования урав-
ВВЕДЕНИЕ

21

нопия (0.13) нужно обращаться к ЭВМ. (В свое время были предложены различные специальные приемы графического интегрирования названного уравнения; теперь этими приемами практически пе пользуются.)

В состояниях равновесия равны пулю обобщенная скорость (знаменатель правой части уравнения (0.13)) и обобщенное ускорение (числитель правой части уравнения (0.13)). Таким образом, в точках фазовой плоскости, соответствующих состояниям равновесия, производная dq/dq не определена и вместе с этим не определено направление касательной к фазовой траектории. Такие точки называются особыми точками дифференциального уравнения. В качественной теории дифференциальных уравнений устанавливается, что через любую особую точку проходит либо больше чем одна фазовая траектория, либо не проходит ни одной. Например, как мы видели на рис. 0.9, в, через особую точку в начале координат не проходит ни одна из фазовых траекторий (такая точка называется особой точкой типа «центр»; ниже будут рассмотрены особые точки других типов).

Через всякую регулярную точку фазовой плоскости (т. е. не особую точку) проходит одна и только одна фазовая траектория. Изображающие точки, лежащие в верхней полуплоскости, определяют состояния системы с положительными значениями обобщенной скорости, т. е. состояния, которым соответствует возрастание обобщенной координаты, поэтому такая изображающая точка движется вдоль фазовой траектории слева направо. Соответственно, изображающая точка, находящаяся в нижней полуплоскости, движется вдоль фазовой траектории справа налево. Отсюда также следует, что касательная к фазовой траектории в точках пересечения траектории с осью q перпендикулярна этой осн.
Глава I

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

§ 1. Линейные системы с одной степенью свободы при отсутствии трения

1. Основное дифференциальное уравнение и его решение. Изучение свободных колебаний представляет определенный интерес в связи с практическими задачами о движении механической системы после какого-либо возмущения ее состояния равновесия. Однако не только этим определяется важность темы, которой посвящена настоящая глава. Дело в том, что характеристики свободных колебаний (собственные частоты и собственные формы) полностью определяют индивидуальные динамические свойства механической системы и имеют первостепенное значение также при анализе ее вынужденных колебаний.

Рассмотрим в общем виде консервативную механическую систему с одной степенью свободы, для которой уравнение Лагранжа имеет известную из курса теоретической механики форму:

Здесь t — время, q — обобщенная координата, q — обобщенная скорость, T — кинетическая энергия, П — потенциальная энергия.

Прежде всего образуем выражение кинетической энергии:

(1.1)

Tl

п

T = -j 2 miVi =J- 2 ШгУгУи (1.2)

1=1 і=1

где mt — масса і-й материальной точки, v, — скорость этой точки. Если г4 — радиус-вектор і-й материальной точки
§ 1. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ

23

определяется только обобщенной координатой q и не зависит явно от времени, то скорость точки равна

и, следовательно,

Входящая сюда сумма в общем случае является функцией обобщенной координаты q; обозначив

и разлагая последнее выражение в ряд Маклорена в окрестности значения q = 0, получим
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 73 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed