Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
17
циально вводятся в механические системы для гашения колебаний. Чаще всего силы трения препятствуют развитию колебаний, например, служат причиной затухания свободных колебаний; механические системы, в которых действуют такие силы, называются диссипативными. В некоторых случаях силы трения оказывают противоположное действие и возбуждают колебапия (в автоколебательных системах — см. главу IV).
Зависимость обобщенпой силы трения от обобщенной скорости наиболее часто представляют в одной из следующих форм (для диссипативных систем с одной степенью свободы):
сила линейного трения
Q{q)= ~bq; (0.4)
кулопова сила трения*)
Qiq)=-ь sign?; (0.5)
сила нелинейно-вязкого трения, обычно аппроксимируемая зависимостью
Qiq)= ~b\q\n sign^ (0.6)
пли зависимостью
Q(q)=—biq — b3q3 — b5q5 — ... (0.7)
В некоторых системах действуют силы смешанного характера. Таковы, например, силы Q(q, t), зависящие от коордипат и времени, которые нельзя представить в виде суммы позиционной силы и вынуждающей силы; эти силы характерны для параметрических систем, о которых кратко было уже сказано выше. Смешанным характером обладают также силы Q(q, q), зависящие от координат и скоростей и притом непредставимые в виде суммы позиционной силы и силы трения; иногда такие силы придают механической системе автоколебательные свойства.
При составлении механической модели большое значение имеет разумное пренебрежение несущественными составляющими сил, а для учитываемых в анализе составляющих — правильная схематизация их свойств. Так,
*) Здесь имеется в виду простейший вид закона кулонова трепня, в котором не учитывается разница между коэффициентами трения покоя и трения движения.
2 я. г. Пановко
18
ВВЕДЕНИЕ
при определении собственных частот механических систем в большинстве случаев допустимо пренебречь действием сил трения; ими можно пренебречь и при исследовании вынужденных колебаний в достаточном удалении от резонанса. Аналогично этому, если рассматриваются малые колебания, то часто можно не учитывать нелинейность восстанавливающих сил.
Впрочем, подобпые упрощения нужно делать осторожно, имея в виду, что, казалось бы, малые влияния иногда могут явиться причиной важных следствий принципиального характера. Так, даже весьма малые силы трения необходимо учитывать при анализе затухания свободных колебаний, а также при определении резонансных или околорезонансных амплитуд вынужденных колебаний. Подобно этому нужно помнить, что даже малые параметрические силы могут вызвать весьма опасные колебания типа параметрического резонанса (см. главу III).
4. Понятие о фазовой плоскости. Обычное описание движения системы с одной степепью свободы в виде зависимости обобщенной координаты от времени q=q{t) не является единственно возможным. В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазовой плоскости.
Состояние системы в любой фиксированный момент времени t определяется парой соответствующих значений q и q и может быть представлено изображающей (фазовой)I точкой в плоской декартовой системе координат q, q, если откладывать по оси абсцисс обобщенную координату q, а по оси ординат — обобщенную скорость q. Такая плоскость называется фазовой.
В процессе движения рассматриваемой системы величины q и q изменяются и соответственно меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией. На рис. 0.9, а, б показаны фазовые траектории для случаев равномерного (а) и равноускоренного (б) движений материальной точки. Положение исходной изображающей точки M0 определяется начальными условиями.
Для построения фазовой траектории при заданном законе движения q(t) нужно путем дифференцирования образовать выражение спорости q(t), а затем исключить
ВВЕДЕНИЕ
19
время ИЗ двух уравнений:
q = q(t), q = q(t). (0.8)
функция
q = q{q) (0.9)
и описывает фазовую траекторию данного движения.
Впрочем, для построения фазовой траектории переход к
явной функции (0.9) не обязателен; фазовую траекторию
можно строить непосредственно по уравнениям (0.8), которые представляют уравнение фазовой траектории в параметрической форме.
Фазовая плоскость особенно удобна для представления колебательных процессов, когда координата и скорость не выходят за известные пределы; поэтому вся картина движения даже в течение неограниченного времени занимает ограниченную часть фазовой плоскости. Таковы, например, свободные гармонические колебания
q = A sin (kt + «),
причем угловая частота к, а также зависящие от начальных условий величины А и а известны. Для скорости имеем
q = Ak cos (kt + а). (0.10)
Исключив время из этих двух уравнений, получим уравнение фазовой траектории
ф+3^ = А\ (0.11)
т. е. уравнение эллипса.
В данном случае вся фазовая плоскость заполнена бесконечным множеством вложенных друг в друга таких эллипсов с общим центром в начале координат и отли-2*
