Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Физические различия между природой колебаний указанных четырех типов весьма глубоки; в достаточной мере специфичны и соответствующие математические методы исследования. Каждому из этих типов колебаний ниже посвящена отдельная глава.
2. Составление механической модели; ограничение числа степеней свободы. Любая реальная механическая
ВВЕДЕНИЕ
11
система представима в виде бесконечного числа материальных точек, массы которых бесконечно малы; так как связи между этими точками не являются абсолютно жесткими, то число степеней свободы такой системы бесконечно велико. Точное решение задач о колебаниях деформируемых систем удается получить в замкнутой форме лишь в немногих, относительно простых случаях (например, задачи о свободных и вынужденных колебаниях упругих стержней постоянного сечения при равномерном распределении массы по длине стержня). В общем случае это сделать невозможно, и приходится упрощать расчетную модель, в частности путем уменьшения числа степеней свободы. Можно указать три основных способа образования конечномерных моделей.
Первый способ состоит в том, что относительно менее массивные части системы полагаются вовсе лишенными массы и представляются в виде безынерционных элементов (жестких или деформируемых), а наиболее
жесткие части конструкции принимаются за абсолютно твердые тела; если размеры последних малы, то их считают материальными точками.
На рис. 0.3, а — и показаны примеры образованных таким способом систем с одной степенью свободы. Следует обратить внимание на их характерные особенности: упругие элементы, изображенные в виде пружин на рис. а, б, <?, считаются безмассовыми; то же относится к упругим стержням на рис. г, д, з и жестким стержням
6
е
и
Рис. 0.3
12
ВВЕДЕНИЕ
на рис. <?, ж, и; в схемах на рис. б, е качение не сопровождается скольжением: в схеме на рис. г груз считается сосредоточенным (материальная точка). Здесь же, а также в схеме на рйс. д горизонтальные перемещения грузов считаются пренебрежимо малыми. В качестве обобщенной координаты принято: на рис. я, б — горизонтальное перемещение, на рис. в, г, д — вертикальное перемещение, на рис. е — и — угол поворота.
На рис. 0.4 показаны образованные таким же образом системы, имеющие более чем одну степень свободы. Конфигурация системы, показанной на рис. а, определяется
Рис. 0.4
перемещениями Xu Х2, поступательно движущихся грузов; зта система обладает тремя степенями свободы. То же относится и к системе на рис. б, если считать грузы материальными точками (при учете конечных размеров грузов и инерции их поворотов система на рис. б имеет шесть степеней свободы). Положение системы на рис. в определяется двумя обобщенными координатами — вертикальным перемещением центра масс груза у и углом его поворота ф. Также две степени свободы имеет твердое тело, показанное на рис. г; здесь за обобщенные координаты принята вертикальная координата подвижной опоры и угол поворота тела вокруг зтой опоры. В отличие от зтого из-за податливости горизонтальной опоры тело на рис. д имеет три степени свободы. Если масса вала в системе на рис. е пренебрежимо мала, то система
ВВЕДЕНИЕ
13
обладает двумя степенями свободы; в качество обобщенных координат на рисунке показаны углы поворота массивных ДИСКОВ ф1, ф2.
Согласно второму способу распределенные по всему объему системы свойства податливости локализуются в конечном числе точек (или лиштй). При этом система представляется в виде совокупности упруго (или вязкоупруго) сочлененных жестких элементов. Например, упругая балка с непрерывно распределенной массой
Л, ’ А
—----------zZ
Ж'
У ( tp) '(
77Я7 lit-flf'ZI
Рис. 0.5 Рис. 0.6
(рис. 0.5, а) может быть приближенно заменена цепочкой жестких звеньев, соединенных упругими шарнирами. При выборе числа шарниров следует исходить из требуемого уровня точности (см. варианты замены па рис. 0.5,6, в).
Третий способ оспован на некоторых априорных предположениях об изменениях конфигурации системы в процессе колебаний.
Пусть для определенности речь идет о колебаниях показанной на рис. 0.4, а системы с тремя степенями свободы. Согласно этому способу можно принять, что отношения между перемещениями X1 (t), хг((), Хз(() неизменны во времени, а числовые зпачения таких отношений (х2/хі = а, хъ!х\ = §) заранее назначаются; разумеется, это вносит элемепт произвола в решение. В результате движение системы полностью описывается одной функцией времени, например X\(t), через которую непосредственно выражаются перемещения всех точек системы; такая система имеет всего одну степепь свободы.
Соответственно тому же способу, для двухопорной балки (рис. 0.5, а) принимается, что в любой момент процесса колебаний форма изогнутой оси остается неизменной и меняется лишь ее масштаб. Если заранее задать форму в виде «подходящей» координатной функции j(x),
14
ВВЕДЕНИЕ
то прогибы оси балки будут описываться произведением у(х, t) = q (t)f(x), (0.1)
в котором q(t)—функция времени, являющаяся единственной неизвестной задачи. Для иллюстрации на рис. 0.6 показана изогнутая ось балки в избранные моменты процесса колебаний t\, fa и fa; все кривые имеют одну и ту же форму и различаются лишь масштабом. Таким образом, при фиксированном выборе функции f(x) выражение (0.1) определяет переход к системе с одной степенью
