Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
свободы, причем q(t) представляет собой обобщенную координату.
Эта идея приведения к системе с одной степенью свободы лежит в основе излагаемого ниже метода Рэлея (см. стр. 29-35).
Точность решения может быть повышена, если вместо (0.1) описать движение балки суммой произведений
У (*. f)=iw(О-2) і=і
где f, (х) — задаваемые координатные функции, q,(t)—искомые функции времени, играющие роль обобщенных координат, s — сохраняемое в модели число степеней свободы системы. U соображениях, которыми следует руководствоваться при выборе координатных функций, будет сказано ниже.
Одна и та же система может быть приведена к системе с несколькими степенями свободы любым из трех способов. В качестве примера на рис. 0.7, а — г показаны три варианта приведения для двухопорной балки с распределенной массой (рис. 0.7,а).
3. Составление механической модели; силы, действующие при колебаниях. В курсах механики указаны основные типы сил, которые могут действовать на материальную точку; силы, зависящие от времени; силы, зависящие от положения точки; силы, зависящие от скорости точки.
уIXyP-Ilf f, (х'+ц/г ,? ^ j f3 (X)
г
Рис. 0.7
ВВЕДЕНИЕ
15
В большинстве случаев к этим типам сводятся и те обобщенные силы, которые действуют при колебаниях механических систем. Рассмотрим их подробнее, ограничиваясь здесь системами с одной степенью свободы.
Обобщенные вынуждающие силы — внешние силы типа Q{t), являющиеся заданными функциями времени; такие силы служат причиной вынужденных колебаний. Источники возникновения вынуждающих сил весьма разнообразны: периодически изменяющиеся силы давления газовой смеси в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания, инерционные эффекты в вибровозбудителях, переменное притяжение электромагнитов и др. Весьма различны и законы пх изменения во времени, хотя в практике наиболее часто встречаются периодические вынуждающие силы. Ипогда вынуждающие силы не детерминированы, а представляют собой случайные функции времени (случайные процессы).
В некоторых случаях возбуждение колебаний задается кинематически, когда каким-либо точкам системы «предписано» некоторое определенное движение — оно также может быть детерминированным или случайпым процессом. В частности, кинематическим является возбуждение колебаний автомобиля пли железнодорожного вагона при движении по неровному пути. Как будет показано пиже, любое кинематическое возбуждение может быть представлено в виде некоторого эквивалентного силового возбуждения, т. е. заменено действием соответствующих сил.
Обобщенные позиционные силы — силы, зависящие от положения (конфигурации) системы, т. е. от обобщенных координат. Среди позиционных сил особое значение имеют восстанавливающие силы, т. е. силы, возникающие при отклонениях системы от положения равновесия и направленные так, чтобы вернуть систему в это положение. Именно восстанавливающие силы обусловливают собственные колебательные свойства механических систем — их способность совершать свободные колебания.
В механических системах с упругими элементами восстанавливающие силы возникают вследствие деформирования этих элементов при колебаниях (упругие силы). В других случаях роль восстанавливающей силы может играть сила тяжести (маятник) или архимедова сила (корабль).
Зависимости восстанавливающих сил от обобщенных координат, как правило, нелинейны; однако при иссле-
16
ВВЕДЕНИЕ
довании малых колебаний — что во многих случаях достаточно — чаще всего допустима линеаризация таких зависимостей. Для системы с одной степенью свободы линейная восстанавливающая сила всегда может .быть записана в виде
где q — обобщенная координата, с — обобщенный коэффициент жесткости. Например, если для маятника (рис. 0.1, а) принять за обобщенную координату угол от-
где Co — коэффициент жесткости пружины, т. е. статическая сила, способная вызвать удлинение пружины на единицу длины. Эти влияния могут быть противоположными по направлению; так, для опрокипутого маятника
Если пружина имеет малую жесткость, такую, что с$1 < < mg, то обобщенный коэффициент жесткости оказывается отрицательным, т. е. суммарная позиционная сила ие является восстанавливающей.
Обобщенные силы трения зависят от обобщенных скоростей (по крайней мере от их знака) и направлены противоположно движению. Силы трения возникают в сочлепениях звеньев и опорах механической системы, а также в материале ее звеньев. К этой категории также относятся силы сопротивления среды (жидкости, газа), в которой происходят колебания; такие и им подобные силы ниже условно также называются силами трения. Особенно значительно трение в демпферах, которые спе-
<?(?)= —cq,
(0.3)
клонения от вертикали, то обобщенная сила (момент силы со тяжести) равна —mgl sin q «
~ —mglq, т. е.
с = mgl.
Иногда обобщенная восстанавливающая сила возникает вследствие одновременного влияпия двух различных при-
закрепленный маятник (рис.
а
5 0.8,а), для которого
Рис. 0.8
с = C0I2 + mgl,
(рис. 0.8, б)
с = C0I2 — mgl.
ВВЕДЕНИЕ
