Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ж
Рис. 1.2
по цилиндру. Обозначения: mі — масса рейки, гп% — масса цилиндра, Ci ¦— коэффициент жесткости горизонтальной пружипы, C2 — коэффициент жесткости вертикальной пружины, г — радн> с сечения цилиндра, I — расстояние от оси цилиндра до точки крепле-
§ 1. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕПИЯ 27
пия вертикальной пружины. Массами пружин и катка С пренебречь.
Примем за обобщенную координату горизонтальное перемещение какой-либо точки рейки; так как рейка движется поступательно, то выбор этой точки безразличен. Отсчет координаты х будем вести от положения равновесия, когда обе пружины не деформированы.
При перемещении рейки, равном х, цилиндр поворачивается па угол <р = х'г. Кинетическая энергия системы равна
I 1
T=Y In1X2 -\-~2 12 cP2'
подставив сюда h = то2т-2/2, <р = xfr, получим
1 ‘2 1 '2 1 I 1 \ '2
T= 2 mIx +T"V +2- m2j х •
Отсюда непосредственно видно, что инерционный коэффициент в данном случае равен
1
a Jn1+Ym2-
Потепциальная энергия определяется дефорхмациями обеих пружин:
її = Y V2 + Ir е2 (т х) = І ("і+ Tr '2) яВ-
Таким образом, коэффициент жесткости системы равен
C-C1+ ггс?
Теперь по формуле (1.11) находим собственную частоту:
/ ^
/ cI + г2 е2
к=л/ -------------1—•
I mI + 2 т2
Пример 1.2. Определить движение системы, возникающее поело однократного вертикального удара по грузу, который связан с безмассовой жесткой упруго закрепленной балкой (рис. 1.3, а). Обозначения: 21 — длина балки, т — масса груза, с0 — коэффициент жесткости пружины, S — величина приложенного к грузу мгновенного ударного импульса.
IIpeи;де всего найдем положение равновесия (рис. 1.3, б). Пусть в этом положении угол отклонения первоначально горизонтальной балки равен ф*: тогда малая статическая осадка пружины определяется выражением ?ф*. На балку действуют следующие силы: вес груза mg, реакция пружины chp.t., реакция шарнирной опоры. Для определения угла ф* составим уравнение моментов
28
ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
относительно центра шарнирной опоры:
2 rngl — с0г2ф* = 0. (а)
Отсюда находим
2 mg
~ Cl'
V
Теперь перейдем к анализу движения и обозначим через ф угол дополнительного отклонения при движении системы после
удара. Тогда полный угол отклонения равен <р* + фі и полная реакция пружины составляет cQl (ф* 4- ф).
Составим дифференциальное уравнение вращательного движения жесткой системы балка — груз:
Imgl — CqI^ (ф* + ф) =
= Aml2 —2 (ф* + ф),
где Anil2 — момент инерции системы. Если раскрыть скобки в левой части отого уравнения, то сумма первых двух членов соглас-по (а) окажется равной нулю, и мы получим диффе-репциальпое уравнение для координаты ф, отсчитываемой от положения равновесия:
4шр + с0ф = 0. (б)
Теперь легко заметить, что предварительное определение рав-повесного положения оказалось, в сущности, лишней операцией. Можпо было поступить проще: зарапее опустить из рассмотрения силы, действующие в системе, когда она находится в ноложепип равновесия, и включить в дифференциальное уравнение движения только момент дополнительной реакции C0Ztp (этот момепг равеп — с0/2ф); при уто.м сразу получится уравнение (б). Обычно именно так и поступают в подобных случаях.
Сопоставляя уравнение (б) с основным уравнением (1.10), видим, что инерцнопный коэффициент и коэффициент жесткости соответственно равны а = 4т, с = со. Теперь по формуле (1.11) находим собственную частоту:
Перейдем к формулировке начальных условий, соответствующих движению после приложения ударного импульса S. В момент, непосредственно следующий за ударом, положение балки остается
тд
У*-
Рис. 1.3
§ 1. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ
29
неизменным, следовательно, ф0 = 0. Скорость груза получает мгновенное приращение ф01, определяемое из теоремы об изменении количества движения:
2тц>01 — 0 = S.
Следовательно, начальные условия имеют вид
S
cPo — °' 1Po- 2ml ¦
Согласно решению (1.14) движение описывается выражением
fP = ^kTsmkt'
причем наибольшее отклонение от положения равповесия равно
S____________S
Фшах iImkl ^c^ml *
а вьипаппое ударом наибольшее усилие в пружине cOtPmax^ = $ |/ пг '
2. Метод Рэлея. Во введении был пояснен приближенный способ приведения к системе с одной степенью свободы, основанный па априорных соображениях о конфигурации системы при ее колебаниях. После такого приведения нужно образовать соответствующие выражения для потенциальной и кинетической энергии и тем самым установить зпачения коэффициента жесткости с и инерционного коэффициента а. После этого по формуле (1.11) вычисляется собственная частота.
Рэлей доказал теорему, согласно которой вычисленный указанным способом результат всегда приводит к преувеличенному значению собственной частоты.
Пусть, например, для системы на рис. 0.4, а дано: массы всех трех тел одинаковы и равны т, коэффициенты жесткости всех пружин также одинаковы и равны с0. Следуя методу Рэлея, примем X2 = axi, xz = j3zi, где а и р — некоторые разумно выбранные числа.
Кинетическая энергия системы выражается через единственную обобщенную скорость Xi:
