Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 2.1. По экспериментальной виброграмме свободных колебаний некоторой системы с одной степенью свободы установлено, что за один цикл амплитуда уменьшается на 40 %. Оценить, в какой мере трение в системе повлияло на частоту колебаний.
Прежде всего находим логарифмический декремент
Л — IiTtf *= In ^ од- = 0,511,
отсюда
. 0,511 0,511 ----s
h = -?r = ^rVk -h.
Решая это уравнение, находим, что значение h? весьма мало по сравнению с к2:
h2 = 0,00661?2.
Соответственно частота колебаний
= Vki-h% = 0.997&
отличается от собственной частоты системы без трения всего на 0,3 %.
Из этого примера видно, что даже при заметном затухании колебаний (почти двукратное уменьшение амплитуды за один цикл) силы трения незначительно влияют на частоту колебаний.
2. Нелинейное трение. При обработке опытных виброграмм свободных затухающих колебаний чаще всего обнаруживается, что убывание амплитуд не следует закону геометрической прогрессии; это служит признаком того, что трение отличается от линейного.
Нелинейная зависимость сил трения от скорости может быть описана различными аналитическими выражениями. Примем, что обобщенная сила трения Q* пропорциональна п-й степени скорости, причем показатель степени п Ф 1 зависит от конкретных свойств силы трения; эту зависимость записывают в форме (0.6) или в эквивалентной форме
С* = -Ь|?ГЧ. (2.17)
В таком случае основное дифференциальное уравнение имеет вид
ад + Ы^М^ + сд-О. (2.18)'
46 ГЛ., I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Точное решение этого нелинейного дифференциального уравнения получить в замкнутой форме невозможно, но существует ряд способов, позволяющих построить приближенное аналитическое описание движения. Изложим некоторые из них.
Метод энергетического баланса. Согласно этому методу предполагается, что искомое движение близко к гармоническому, но характеризуется медленно изменяющейся амплитудой и постоянной частотой, для которой можно принять значение к, соответствующее консервативной системе без трения. Таким образом, рассматривая какой-либо один цикл колебаний и совмещая начало отсчета
времени с моментом, когда отклонение достигает максимума (рис. 2.4), можно приближенно принять, что движение описывается функцией
q = A (t)cos kt, (2.19)
где A(t) — медленно меняющаяся функция времени, т. е. AT CA, Ac Ak. Тогда в выражении обобщенной скорости
q = —Ak sin kt + A cos kt
можно пренебречь вторым слагаемым и приближенно принять
q = —Ak sin kt.
По выражению (2.17) образуем обобщенную силу трения:
Q* = Ъ (Akf11 sin kt I"-1 sin kt.
Работа силы трения за рассматриваемый цикл равна т ь т
U = J Q^qdt = - bkn+1 J [A I sin Ы \ ]n+1dt.
о о
§ 2, СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ 47
В этом вычислении можно приближенно принять, что в течение рассматриваемого периода величина А неизменна. Тогда получим
Т/4 Я/2
U =— 4b(Ak)n+1 j sinn+1ktdt = — 4ЬАп+1кп J sinn+1i|)di|).
о о
Входящий сюда интеграл обозначим буквой /; он выражается через гамма-функцию Г (эйлеров интеграл второго рода), для которой имеются готовые таблицы:
я/2 2п~2п2г(—)
1 = J sin^ = 1,(1, + 1)1-(1,)- (2-20)
о
С помощью таких таблиц можно вычислить следующие значения I в зависимости от показателя га:
п 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
I 1,000 0,875 0,785 0,718 0,667 0,624 0,589
Окончательно имеем
U — —АЬАп+1кп1(п). (2.21)
Полученное выражение равно изменению энергии системы за рассматриваемый цикл. Так как в начале и конце рассматриваемого цикла кинетическая энергия равна нулю, то изменение полной энергии определяется изменением потенциальной энергии П; конечно, при вычислении этого изменения необходимо учесть разницу между наибольшими отклонениями ^4(0) и A(T).
В начале цикла П (0) = ¦— сA2 (0). В конце цикла
Jl(T) = ^cA2 (T).
Следовательно, приращение (отрицательное) потенциальной энергии равно
АП = і-с [A2 (T) - A2 (0)] = -j с IA (T)+А (0)] [A (T)- Л(0)].
Сумму, стоящую в правой части равенства в первых скобках, приближенно заменим через 2А (0), а разность, входящую во вторые скобки, обозначим через ДА. Тогда
48
ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
будет
ДП = с4Д4. (2.22)
(Здесь вместо А (0) можно написать просто А.) Приравнивая работу (2.21) приращению энергии (2.22), полу-
чаем уравнение в конечных разностях
-АЪАп+1к”1(п) = сААА,
или
AA = — 46 {Ак)^(п). (2.23)
Это уравнение связывает приращение (отрицательное) амплитуды за один цикл со значением амплитуды в начале зтого цикла. Рассматривая огибающую как непрерывную кривую, описываемую дифференцируемой функцией времени A = A(t), приближенно примем
AA = T^ =
dt к dt
Тогда уравнение в конечных разностях (2.23) примет вид дифференциального уравнения для огибающей:
dA_ _ _ 26?"+1/ (и) Л„
dt~ яс <2-24>
При интегрировании этого уравнения нужно различать два случая: когда в=1 и когда пФ 1,
В случае п — 1 (линейное трение) согласно (2.20)
I = п/4., и уравнение (2.24) принимает форму
§ = -hA. (2.25)
*»2 »
Здесь h — я— = Решение линейного уравнения (2.25)
