Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
аС АЛ
имеет вид
A=A0e~ht, (2.26)
где Ao имеет смысл начальной ординаты огибающей. Таким образом, при п = 1 мы приходим к прежнему (точному) результату (2.10). Хотя это совпадение относится
только к огибающей (из-за различия между /с и /с* графики движения будут неодинаковыми), но это убедительно свидетельствует в пользу приемлемости метода энергетического баланса.
§ 2., СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ
49
В случае п Ф1 уравнение (2.24) нелинейно, но его точное решение затруднений не вызывает, так как переменные разделяются:
dA = _ 26?"+1/ (п) dt
пс
(2.27)
После интегрирования при начальном условии A(Q)-A0 находим зависимость А (t):
А" (2.28)
А =
nZ1Zr 2Ъ (п — I) к11+11 (п) А?-1
V
пс
t
Конкретный вид этой зависимости определяется значением показателя п.
Прежде всего остановимся на случае, когда п — 2 (квадратическое трение); при этом иэ (2.28) получается
А =------\------, (2.29)
Abk А,
о
Зле *
т. е. огибающая имеет вид гиперболы.
С помощью решения (2.28) можно получить огибающую и для другого важного частного случая, когда п = 0. А®.
Согласно (2.17) этому слу- / чаю соответствует выражение
Qstl = - 6-і-, (2.30)
I я 1
о
определяющее силу кулоно-ва трения, величина которой не зависит от величины скорости. Подставив п = 0в общее решение (2.28), получим
Рис. 2.5
A = A0--tt
0 пс 1
(2.31)
т. е. убывание амплитуд следует линейному закону, а амплитуды образуют арифметическую прогрессию; этот результат также соответствует точному решению.
На рис. 2.5 показаны верхние огибающие для трех указанных выше значений п. Общий вид фазовых траек-
4 Я1 Г ТТяяпнко
50
ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
тории такой же, как и в случае линеиного трения (рис. 2.3, а).
Отметим, что при п Ф 1 отношение двух соседних наибольших отклонений непостоянно; отсюда можно заключить, что логарифмический декремент оказывается п е-ременной величиной, зависящей от амплитуды:
л = 1пг-.
лі+і
где і — номер рассматриваемого цикла. Если, как это предполагалось выше, разность AAi = Ai^i—Ai мала по сравнению с Ai, то можно записать=
Л:
In 4+;-Ai‘= Ia H-
лі+1
АAt
^і+1
AA А *
Подставив сюда выражение (2.23), получим зависимость логарифмического декремента от амплитуды:
д _ ViknI (п) ^n-I
Отсюда непосредственно видно, что лишь при п = 1 логарифмический декремент не зависит от амплитуды колебаний и остается неизменным в процессе колебаний. При
п = 2 в процессе затухающих Колебаний логарифмический декремент убывает вместе с убыванием амплитуды, а при п = О (кулоново трение), наоборот, он увеличивается с уменьшением амплитуды.
Зависимости логарифмического декремента от амплитуды колебаний
схематически показаны на рис. 2.6.
Метод медленно меняющихся амплитуд. Этот приближенный метод был предложен Ван дер Полем для^ широкого класса задач о колебаниях систем со слабой нелинейностью, когда дифференциальное уравнение движения можно представить в виде
q + Кч = / (?> Ч)* (2'32)
§ 2. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ
51
где f(q, q) — функция, состоящая из относительно малых нелинейных членов. Например, в задаче о затухающих
свободных колебаниях систем с нелинейным трением
нужно переписать уравнение (2.18) в виде (2.32), положив
/(?-?) = —I ЗІ”-1?- (2-33)
Рассмотрим решение уравнения (2.32) по методу медленно меняющихся амплитуд для общего случая, а затем вернемся к частному случаю (2.33).
Решение дифференциального уравпепия (2.32) разыскивается в виде
q = A cos (k0t — ср), (2.34)
но предполагается, что А и ф — функции времени.
В зависимости от свойств вновь введенных функций A (t) и cp(t) зависимость (2.34) может оказаться более или менее близкой к гармоническим колебаниям с частотой *0. При постоянных А и ф выражение (2.34) совершенно точно описывает гармонические колебания. В случае, когда А и ф — «почти постоянные», т. е. медленно меняющиеся функции времени, выражение (2.34) описывает колебания с медленно меняющимися амплитудой и фазой; этот случай типичен для систем со слабой нелинейностью, в частности для рассматриваемых здесь систем.
Если подставить выражение (2.34) в основное уравнение задачи (2.32), то получится уравнение, содержащее две неизвестные функции А и ф. Для определенности замены одной функции q двумя функциями А и ф нужно указать какое-либо дополнительное соотношение между последними; Ван дер Поль предложил принять в качестве такого соотношения следующее:
A cos (k0t — ф) + Аф sin. (Tc0^ — ф) = 0. (2.35)
Если теперь продифференцировать выражение (2.34), то с учетом (2.35) получится весьма простое выражение для скорости:
q = — Jc0A sin(k0t — ф), (2.36)
— такое же, как если бы величины А п ф были постоянными. Поэтому и выражение для ускорения окажется относительно простым и не будет содержать вторых
4*
52
ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
производных А и ф:
q = — Ak0 sin (k0t — ф) — Aklcos (К* — Ф) +
+ Ak оф cos (k0t — ф). (2.37)
Подставив выражения (2.34), (2.36) и (2.37) в заданное уравнение (2.32), получим уравнение первого порядка
