Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Системы с одной степенью свободы при наличии линейной восстанавливающей силы и трения
1. Линейное трение. Для изучения свободных колеба-яий системы с одной степенью свободы при наличии линейного трения будем исходить из уравнения Лагранжа
в котором Q* — обобщенная сила линейного трения. Для ее определения примем, что на каждую точку системы действует сила линейного трения
Рис. 1.10
состояния равновесия. Исключение составляют изображающие точки, лежащие на прямой q = —k*q; если в начальный момент задано такое возмущение, что q(0)== = —#*gr(0), то система будет стремиться к состоянию равновесия. Ho это не может изменить оценки состояния равновесия как н е устой-
(2.1)
Ri = -PiVi,
(2.2)
где Pi — коэффициент трения. Вспомнив основное выражение обобщенной силы
§ 2. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ 41
и известное соотношение
dri <?V{
будем иметь
2 PiVi = Ріуі—•
Ho так как
штт • Ой ' а
i=l i=l dq
d\{ і я I dvf
Vi— = -9 -(ViVi) = т —, dq Л dq Л dq
TO
n
"* ~ 2 я* я Jbi 2 '
i=i </? oq i—1
Входящая сюда сумма
?=2?? (2-3)
формально сходна с выражением кинетической энергии и ее называют диссипативной функцией Рэлея. Способ, использованный выше при построении выражения (1.4) для кинетической энергии, в данном случае также приведет к компактному выражению
ф = у&?2, (2.4)
где Ь — обобщенный коэффициент вязкости.
Окончательно приходим к следующему выражению для обобщенной силы трения:
Q* = -^=-bq. (2.5)
dq
I ‘ I
Так как по-прежнему T = aq2, П = у cq2, то уравне-
ние Лагранжа (2.1) принимает вид
aq+bq + cq = 0. (2.6)
При не слишком больших значениях обобщенного коэффициента вязкости, когда Ъ<2\ас, общее решение
42 гл< I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
дифференциального уравнения (2.6) имеет вид
q = 6^((?! sin k^t + C2 cos k^t), (2.7)
где
K=Vf^h2, (2.8)
а постоянные С\ и Ci определяются из начальных условий ?(0)=?о, Ч (0)=?о
в форме
g0 + fcy с _а
W — Je » ^2 — Ї0'
Другая форма решения имеет вид
q = sin (Zcli.і -f- а),
(2.9)
где
/?2-;
»о + Ч
Как видно из (2.7) или (2.9), движение представляет собой затухающие колебания с постоянной частотой, но
постепенно убывающими амплитудами, так что процесс в целом характеризуется монотонным убыванием амплитуд (строго говоря, этот термин относится только к незатухающему процессу гармонических колебаний) — см. рис. 2.1.
§ 2„ СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ
43
Огибающие кривой процесса определяются функциями A = ±A0e-h,t (2.10)
где Aq — начальная ордината огибающей.
Угловая частота свободных затухающих колебаний определяется выражением
Л* = VW=K = vV-*2, (2.11)
соответственно длительность одного цикла составляет гп 2л 4ла
Sb — T :
'* к* Viac-b2'
Чаще всего влияние трения на собственную частоту пренебрежимо мало, т. е. можно принять Jcits ж к, TjeTtiT.
Последовательность максимальных отклонений следует закону геометрической прогрессии, так как согласно
(2.10) отношение двух последовательных максимальных отклонений A (t): A (t + T#), разделенных интервалом времени Tit., является постоянной величиной, равной ehT*. Натуральный логарифм зтого отношения называется логарифмическим декрементом; он равен
A = JiTil,= г 2пЬ-г (2.12)
Vi ас-Ъ* V«с '
Логарифмический декремент служит удобной количественной характеристикой темпа затухания свободных колебаний.
При достаточно больших_______значениях коэффициента
вязкого трения, когда Ъ > 21/ас, общее решение дифференциального уравнения (2.6) вместо (2.7) запишется в виде
q = C1B1*+ CtfFt (2.13)
где _______
— Ъ+ Vb2-^ae Sl-2----------Ta •
Постоянные интегрирования определяются через начальные условия выражениями
44
ГЛ., I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Движение, описываемое выражением (2.13) — не колебательное (рис. 2.2); при любых начальных условиях величины q и q асимптотически стремятся к нулю.
В случае, когда 6 = 2Vас (критическое затухание), решение дифференциального уравнения (2.6) имеет вид
q = e-M[qQ + (kqa +qQ)t\ (2.14)
и по характеру не отличается от показанного на рис. 2.2.
Обратимся к представлению рассматриваемого движения на фазовой плоскости и начнем со случая относительно малого трения (см. выражение (2.9)). Образуем выражение скорости
q = Аё~м Ikit. cos (k%t + а) —
— h sin (k%t + а)] (2.15)
и будем рассматривать систему (2.9), (2.15) как уравнение фазовых траекторий в параметрической форме. На рис. 2.3, а изображены две типичные фазовые траектории; они представляют собой спирали, накручивающиеся
на начало координат — особую точку, которая в данном случае называется устойчивым фокусом.
В случае относительно большого трения, когда движение описывается решением (2.13), для скорости находим:
q = C1S1I?*1* + C2^e* (2.16)
§ 2. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ
45
Рассматривая (2.13) и (2.16) как уравнение фазовых траекторий в параметрической форме, приходим к фазовой диаграмме, показанной на рис. 2.3, б. В данном случае начало координат является особой точкой типа устойчивый узел.
