Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
(X + iy) + (У+ i Q) (X + iy) = -е*"',
т
где Q = еН{тс.
Будем искать частное решение этого уравнения в виде
x~\~iy = Веш.
Подстановка в уравнение дает
q __ еЕ/m________
У + *(<*>+ Я)
Добавляя к найденному частному решению решение однородного уравнения,
получаем общее решение неоднородного уравнения
x+iy= АегЪ+mt _| еЛт еШ'
^ Y + ,(e> + Q)
Полагая А = ае~1а и отделяя действительную и мнимую части решения,
находим
х = aerv(cos(Qt + <*) 4-rftYCOsco^ 4 ((r) 4~ ?2)sin
у =- ae-^sln (Ш -f се) -4- [уsin cat - ((c)4- Q)cos(c)/],
где
-eEfm
va + (fl) + Q)a •
Последние формулы вместе с выражением для г дают возможность вычислить
мгновенное значение мощности. Так как
v2 = (аа 4- Ь2) е~(tm) + d2 [у2 4- ((c) 4- й)2] +
4- 2ader~yt{уcos[((c)4~ П) 14-cej4- (ю-f ?2)sin[((c) 4- ИИ4~ се]},
то
" 2k ___
AT L/_* . t,v _ m , "_лГ/" , гчч" & 1 _ m' At
- k(a2-\-b2)e m 4- mad j\(r)4- H)a-^r]e " x
_ i_t
X cos(((c) 4-?2)^4- а] - 2кай(<а 4- Q)e m sin[("4-ПН+"]•
Усредняя это выражение по периоду 2л/(<в+И) и учитывая, что (kfm) С
(ю+й), получим
Сохранение импульса, момента и энергии точки
103
Заметим, что при <а = -Q (т. е для электронов) имеет место резонанс, В
этом случае при а=0
-Л,
*L = _k(a*+b*)e т _mad_^_e
dt m(r)
2.13. Согласно законам сохранения момента импульса и кинетической энергии
имеем
я*Р ф = MQ; -- + -г = ?0.
2 2тра
Отсюда получим
ш - ф = Г -^2------------------------------------ = - arcsin
J mp(r)
dp Ма 1
-------------------- - arcsin ¦ .Л=- . -
2 у гтЯо Р
(Е.-Лфйпр1) т. е. уравнение траектории - прямой линии:
о - Ро • о - м* (т = -
к - " > Ро - ,^15-гг I то о
cos ф У 2от?0 \ 2
и закон движения:
г -........." -=<+с;р = [р;+
Нетрудно видеть, что р0 = MalV2mE0 является кратчайшим рас* стоянием от
начала координат до прямой
2.14. Ось z цилиндрической системы координат совместим с осью
конденсатора. Тогда потенциальная энергия электрона в кон* денсаторе
имеет вид
U=-2ех In р,
где к - заряд единицы длины конденсатора.
Закон сохранения энергии дает интеграл
-¦ 2е х In Ро - - 2е х In рх,
2 2
где индексом "0" снабжены величины на внутренней обкладке конденсатора, а
индексом "1" - на наружной Из закона сохранения момента импульса
электрона имеем
дао0р0Б1йсх0 = дар1ф1,
104
Законы изменения импульса, момента и энергии
{Гл. 2
где ао - угол между радиусом-вектором электрона и его скоростью в
начальный момент времени. Присоединяя к интегралам энергии и момента
импульса условие pi=0 (в этом случае траектория касается наружной
пластинь!), для критического значения угла ао найдем выражение
тик P#
2.15. В цилиндрических координатах с началом в центре окружности и осью
г, направленной по прямой, соединяющей заряды Q, напряженность поля равна
Е - 2Зр п
(р. + *)8/3 "Р*
Следовательно, выражение для эффективной потенциальной энергии может быть
представлено в виде
I! _ _ 2<&- I А*2
eff Vp* + as 2m pa '
Согласно условию задачи
dUe ff
"0.
P="
¦ф
Таким образом, квадрат момента импульса частицы
Ма.=-----2QqmRi3fiг-.
(R2 + а2) /
2.16. Совмещая ось z цилиндрических координат с осью симметрии
конденсатора и проектируя обе части уравнения движения электрона на ось,
определяемую ортом пф) получим
(mp2 ср) = - рр Яг, аг с
где Нг - Н (р) - заданная функция.
Интегрируя это уравнение в пределах от р=о (на внутренней обкладке
конденсатора) до р = Ь (на наружной обкладке), получим
ь
mb2 <р (6) - та3 ф (а) - J Я (р) 2яр dp.
а
Второе слагаемое в левой части обращается в нуль по условию задачи, а
интеграл в правой части представляет собой поток Ф
Сохранение импульса, момента и энергии точки
105
напряженности магнитного поля через сечение конденсатора. Поэтому
ф= ~-/пй2ф(й).
Определяя <р (Ь) из закона сохранения энергии, в котором следует положить
р'|р^ь = 0, окончательно найдем
" , , / 2mU
Ф = 2 neb
/2m(J \е\
где U - разность потенциалов между обкладками конденсатора.
2.17. В магнитном поле Н=(2//ср)пф прямого тока имеют место законы
сохранения момента импульса и кинетической энергии /яр2 ф = Мг0;
-f-(p2+p42+z2) = rd. (1)
Воспользуемся также интегралом
2=-isL-ln-P-, (2)
me2 а
который следует из уравнения движения электрона вдоль оси z.
Тогда, используя начальные условия и исключая г из интеграла
энергии, найдем уравнение для рта*:
ifVlln2-?(tm)2L ^р2_ тМ а
2.18. а) Из закона изменения момента импульса в векторных обозначениях
имеем
[г [vH]] r=J~(y (гН) - Н (rv)).
Умножая обе части этого уравнения скалярно на Н, получим dMH = - {(Hv)
(Hr) - Я2 rv} =
dt с
e
((Hr)2 - H%rl) = L. [HrI2.
Oi ш n" Ji
Следовательно,
2c dt 2c dt
так как
[ab]2 = а2Ьй - (ab)2.
MH +-i-rrH]2= C. 2с
106
Законы изменения импульса, момента и энергии
[Гл 2
б) Повторим этот вывод в тензорных обозначениях. С этой целью заметим,
что компоненты векторного произведения можно записать в виде
[ab]" = , (1)
где по повторяющимся в произведении индексам ведется суммирование, а В{}4
- символы Леви - Чивита, по определению равные
1) езд=0, если среди индексов i, /, k имеются хотя бы два одинаковых;
