Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
ОО ОО оо
ЛГ-j LF(t')b(t~f)dt' = jF(f)L6(t~t')dt' = jG(/f t')F(f)dt'.(6)
i% to to
Функция Грина (5) удовлетворяет уравнению
mG = 6(f - Г), (7)
92
Кинематика и уравнения движения точки
{Гл. 1
а начальные условия имеют вид
G(/=f' -е,О = 0; <?(* = *'- 8,f) = 0. (8)
Интегрируя (7) и учитывая (8), находим
т (Gf'-fe - G('_e) = 1; Gt'+e =- 1 /т, (9)
т. е. при t=i' имеем конечный разрыв. Поэтому сама функция G при t = t'
разрывов не имеет:
Gf'-e - Gf+в - 0. (10)
При t<t' решением уравнения (7), удовлетворяющим начальным
условиям (8), является G{t,t')= 0. При t>t' уравнение (7), т. е.
<5=0, имеет решение
G(t, f) - At -\-В.
Из начальных условий (9), (10) находим
А = В =¦ - AV = - -.
т т
Следовательно,
0,
G(f,t')
(И)
- (t~~ t'), V <t< oo.
v m
Таким образом,
" i
x(t)=^G(tf t')J?(t')dt' = -L (*')(* - t')dt'\ (12)
i
ti(0 = i(<)= - (13)
tn J
Формула (12) может быть также получена двукратным интегрированием
уравнения (1)
t h
x(i)=~[([F{x)dx\dt1.
tn J \J /
ta U
Действительно, меняя порядок интегрирования, найдем
i t t
*(*) = -?- jrfTjF(T)^! = -Lj>(T)(f - T)dt.
Уравнения движения точки
93
Воспользовавшись (13), решение (12) можно представить в форме
t
x(t) = tv(t) - - {t'F{t')dt'. (14)
т J
В том случае, когда сила действует в течение конечного промежутка
времени, (14) удобно переписать в виде
*(Q = t>(f) (i-0);
[J'w "'Г1-
U *0
2) Для более компактного вычисления функции Грина используем метод
фурье-преобразований. Поскольку (7) является неод-
нородным уравнением с постоянными коэффициентами, представим G (t, f) в
виде
G(t, t') = j* (15)
Учитывая, что
-f-oe
S(f - П = - ( е*"'-г*с1<а,
2 n J
QO
из (7) и (15) найдем -лно'б^-, т. е.
2л
4-00
G(t, t') =---- ( ет~п _*L
4 ' 2пт J со2
-ОО
Это выражение не определено пока не задано правило обхода полюсов.
Учитывая, что при t-f>01mu)>0, а величина Retto <0, находим, что в случае
t-t'>0 контур интегрирования надо замкнуть в верхней полуплоскости
переменной <в. Это обстоятельство можно учесть, заменяя в (15) ю-на-is (е
- малая положительная величина, которую после вычисления интеграла надо
положить равной нулю). Итак,
-j-eo
G(t -1') =------- f eW-J'). (16)
2лга J (ш - i €f
QO
Замыкая контур интегрирования при i-1'>0 в верхней полуплоскости (о, а
при t-Г<0 в нижней полуплоскости, из (16) получим результат (11).
ГЛАВА 2
Законы изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии
§ 1. Законы изменения и сохранения импульса, момента импульса и энергии
материальной точки
2.1. Движение происходит под действием центральной силы отталкивания
F = mkzr.
При этом сохраняется момент импульса (или секторная скорость а)
М = 2 та -1гаЬпг,
где п2 - единичный вектор вдоль оси г. Также сохраняется энергия
материальной точки:
Е = (6*- а2).
2.2. Используя выражение для силы
F - - - - _-Ч- JL. - _ЛЧ- _L дг дг дг дг г '
а также закон сохранения момента импульса
i* = [rF] = О,
dt
m[rv] = M0. найдем, что
Умножая обе части этого уравнения скалярно на г, получим
М0г = О,
к е. уравнение плоскости, проходящей через центр силы.
2.3. Сила, действующая на тело, имеет вид
F = /(r)r-Vv.
Следовательно,
-Хм.
94
Сохранение импульса, момента и энергии точки
95
Отсюда
--У-t
м - jvv ,п • (1)
Умножая обе части (1) скалярно на г, находим уравнение
М0г = О
плоскости, проходящей через центр силы.
2.4. Потенциальная энергия заряда
U =-----
4 у 4х 4 V х2 + Уг
(начало координат помещено на ребре двугранного угла, а оси х и у
направлены по его граням перпендикулярно ребру).
Используя закон сохранения полной энергии заряда
е8 ( J о) то2 _________________________е8
V/2 / 2 4х 4;/ 4/FTP'
4*о
найдем
", 2е* Г 1 2.1.1 1
ф - - . 1---р
т L То/2
*¦# х У / х2 + /
2.5. Исходим из первых интегралов движения
1/'=-у0; 2' = г0; (1)
--+^otga-=-?0- (2)
2 а
Из (1), (2) находим
• + t/" tga4 = = ?о'- х $ + г">-
Следовательно,
dx
J
2-( - t/otga-^
m \ а /
Вычисляя интеграл (заменой sin xja - и), получим
I/
л: = a arcsin 1 *7 1
т
(3)
96
Затоны изменения импульса, момента и энергии
{Гл 2
Из (3) следует, что движение точки периодично с периодом
Г *** = 2"о 1/.
здесь X] 2 - корни уравнения ?х- U0 tg2--=0 (положение точек поворота).
2.6. Предположим, что начальная скорость точки лежит в плоскости xz
Используя интегралы движения
т ¦- - - - - - mvп
тх = mv0 cos а; - (л2 + г2) + U (г)
найдем уравнение траектории в виде
г
f*_______________ у0 cosa dz______________________________ .
3 ["q sina a - 2g(z - A) 6 (z - A)]1/2
В наивысшей точке траектории dz/dx = 0, поэтому координата вершины
траектории
i$sin2a
Zl = ft + -2------------------------------------- (2)
2g
Вычисляя интеграл (1), находим уравнение восходящей части траектории
г etg a (z < h)\
х
, , tin sm 2a f 2 , /--- ,
ftctgaH у -u0cosa|/zx-г (z > i
h).
i j g Следовательно, дальность
tin sin 2a
I - 2x (zL) = 2h etg a -|--------------------------------- (3)
Теперь найдем максимальную дальность. Производя в (3) замену и = etg а,
