Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
9.1. Материальная точка движется по гладкой поверхности кругового конуса
с вертикальной осью; раствор конуса направлен вверх, угол раствора 2 а.
9.2. Найти канонические уравнения материальной точки, движущейся в
однородном гравитационном поле по гладкой сферической поверхности (радиус
сферы изменяется по закону г=г{*}).
9.3. Записать уравнения Гамильтона для заряда в постоянном однородном
магнитном поле и электрическом поле с потенциалом ф. Получить интегралы
движения в случае ф=0.
9.4. Рассматривая углы Эйлера в качестве обобщенных координат твердого
тела с одной неподвижной точкой, получить функцию Гамильтона для этого
тела. Получить динамические уравнения Эйлера из уравнений Гамильтона.
9.5. Найти траекторию одномерного гармонического осциллятора в фазовом
пространстве.
9.6. Показать, что уравнения Гамильтона можно записать в виде
-f- = = {Я,.Н) (< = 1.....s).
симметричном относительно канонических переменных1.
9.7.-Показать, что для функции f(q, р, t) канонических переменных имеют
место соотношения
9.8. Показать, что функция
f - x - pt/m
является интегралом движения свободной частицы в отсутствие внешних сил.
9 9. Доказать, что скобки Пуассона
а) Мра} = 0; б) {М, г3} = 0.
1 Здесь и далее для скобки Пуассона от функций U и /а канонических
переменных используется обозначение (fi, f2}.
Канонические уравнения Скобки Пуассона
63
9.10 С помощью скобок Пуассона показать, что импульс Р системы является
интегралом движения, если ее гамильтониан инвариантен относительно
произвольного параллельного переноса системы в пространстве.
9.11. Используя скобки Пуассона, показать, что обобщенный импульс р,
является интегралом движения, если гамильтониан
• ?s)pi.-.Ps) инвариантен относительно преобразования
I-
9.12. С помощью скобок Пуассона показать, что кинетический момент системы
сохраняется, если ее гамильтониан
2
Я= • • • ,rw) инвариантен относительно произволь-
" 2т{
лого бесконечно малого поворота системы.
9.13. Используя скобки Пуассона, показать, что при движении частицы в
поле Я([г|) сохраняется ее момент импульса.
Q.14. Пусть гамильтониан системы явно не зависит от времени. Доказать,
что значение функции F(q(t), p{t)) канонических переменных в момент
времени t выражается через значение F(q(0), р(0)) в момент времени t=0
формулой
оо
F(q(t), p{t)) =F(0) + . •{{№}//} .. .}Я}<=о,
/1=1
где q{t), p(t) - удовлетворяют уравнениям движения, а F(0)=F(p(0), р(0)).
Вычислить с помощью этой формулы x(t) и p(t) для одномерного
гармонического осциллятора,
9.15. Одномерный точечный осциллятор взаимодействует с полем излучения,
гамильтониан которого
н=т?(р"+ш"-
V
Взаимодействие с этим полем учитывается заменой в гамильтониане
невозмущенного полем осциллятора импульса р на р- -А(г),
С
где вектор-потенциал поля имеет вид А (г) =^<7vAv(r) (Av- вектор-
V
потенциал поля излучения v-той моды). Написать уравнения Гамильтона для
системы осциллятор+поле излучения в приближении А(г) "А(0).
9.16. Гамильтониан молекулы, взаимодействующей с излучением, имеет вид
Я=Я<°>+#/+#гп, где Я<°> - гамильтониан, невозмущенный нолем молекулы; Hf
= - 2(р2ц_ со^) - гамильто-
64
Уравнения Гамильтона
[Гл 9
ниан поля излучения; Нгп = ЪВкрч - энергия взаимодействия, причем (psAv
(rs)) (индексом v обозначены величины,
относящиеся к определенной моде поля излучения, индексом s обозначены
номера атомов). Используя скобки Пуассона, найти изменение энергии ft-той
моды, обусловленное взаимодействием с молекулой.
§ 2. Уравнение Гамильтона-Якоби
9.17. Найти действие материальной точки, движущейся в отсутствие поля и
проходящей через точки ri=r(fi) и г2 = г(12).
9.18. Найти действие одномерного гармонического осциллятора, проходящего
через точки xi=x(t\)t х2=х(/2).
9.19. Найти действие для одномерного осциллятора с переменной частотой
и(1).
9.20. Найти действие для заряда, движущегося в однородном магнитном поле.
9.21. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби для точки
движения точки.
9.22. Составить уравнения Гамильтона - Якоби для точки, движущейся в
однородном гравитационном поле. Найти полный интеграл этого уравнения, а
также траекторию и закон движения точки.
9.23. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби для тела,
движущегося по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол а с
горизонтом.
9 24. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби для
математического маятника и закон его движения в квадратуре.
9.25. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби для электрона,
движущегося в постоянном однородном магнитном поле (в декартовых
координатах) Найти также закон движения электрона и его траекторию.
9 26. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби для заряда,
движущегося в постоянном однородном магнитном поле (в цилиндрических
координатах). Получить закон движения и траекторию в квадратурах.
9.27. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби для электрона,
движущегося во взаимно-перпендикулярных постоянных и однородных
