Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно,
1 39.
ё*Ег + g2m2
1.40. 1) Из уравнения движения
тг - - [vH] - yv
С
(1)
(2)
-mt-- i
u(t) = x+ iy - и (0) e
m
(3)
где и (0) = x0 + iy".
Из (2) и (3) находим
Уравнения движения точки
87
2
2) Умножим обе части (1) скалярно на v. Тогда получим, что
2
d / mv2 \ __ dt [ 2 )
уУ
- t
т. е. Т = Тф ,п .
1.41, Поместим начало отсчета системы координат в место вылета электронов
из электронной пушки, а ось z направим по оси трубки вдоль вектора Н.
Тогда уравнения движения примут вид
х = - "и/; у = шх; 2 = 0 (ш = \e\H/mc), (1)
а начальными условиями будут х (0) = y0cos а; у (0) - v0 sin а; г (0) = и
(а - угол между проекцией скорости на плоскость Оху и осью Ох).
Интегрируя (1), находим
х = - [sin (а -f art) - sin а];
<й
у = -[cosa- cos(a + coi)]; z = ut.
СО
Пусть ii - время пролета электронов до экрана (ti - Lju,). Электроны,
вылетающие под разными углами а, фокусируются в разных местах трубки, так
как
х (tj) = - [sin (a + Шг) - sin a];
СО
у (^) = - [cos a - cos (to*! + a)].
CO
Однако если вьшолняется условие
(atx =- = 2яп
и
(п - целые числа), то все электроны фокусируются в одной точке х = у=0;
z=L.
Итак, длина трубки должна удовлетворять требованию
г n tnu
L - 2 пс---------п.
\е\Н
1.42 Выберем оси координат так, что Е= (Е, 0, 0); Н= (0, 0, Я) . Тогда
уравнения движения имеют вид
88
Кинематика и уравнения движения точки
{Гл 1
х - ои/4- %х= -; (1)
т
у -j- сох -f- Ху = 0; г + Яг = 0, (2)
где о) =- еН/тс, X = kjtn.
Вводя " = + ">, из (1), (2) находим
еЕ
и -j- Хи + ши -
т
Следовательно, Искомая скорость
еР
и = ае~-j- ------------; а = Ае~1а.
т(Х + Щ
х - Re и = Ае~и cos (<of -Т а) еЕ^
т (А2 + ю2)
При усреднении по периоду Т=2я/со экспоненциальный множитель можно
вынести за знак усреднения, так как АСи. Поэтому
,• ч еЕХ eEkc%
{х) =--------------- =-----------.
m (А,2 + со2) с2?2 + е2Я2
1.43. Поскольку |Н~|"Я0, то уравнения движения имеют вид (е--е0)
E0cos(o)t- kz)^y<a; (1)
m
у =-------- Е0 sin (cat - kz) + хв>\ (2)
m
"г = 0.
Из последнего уравнения следует z=z0. Вводя комплексную скорость u=x+iy,
из (1), (2)
и = -¦ ае!(а'~а) + ши\ а - g°?°-; а - kzQ. (3)
пг
Решение этого уравнения ищем в виде и=Аеш . Тогда из (3) получим
А = - ae~ia; А = С - ate~ia\ С = 0.
Следовательно, u(t) = -- а(ё^~аК Таким образом, и2 = j"|2-j-^2 =аНг
Т = = - (gp^o*)8
2 2 т
Уравнения движения точки
89
1.44. При изменении магнитного поля возникает электрическое поле, которое
определяется уравнением Максвелла
Edl = - - f(tm)dS, с J dt откуда
г _ Р d Н0 _ н0 pt
XJ ф ------------------------------- "-- ---------------
2с dt / t \* ст2
1+(т
¦)Т
Следовательно, имеют место уравнения движения заряда в декартовых
координатах:
тх = - уИ + еуН; с 2 с
м Q • I '
ту - хН exH; mz=0.
с 2 с
Вводя переменную § = лс + i#, получим
еНо f 1 -
где со = -т =--------------.
me I -f (tiff
Замена функции
g-шехр j-" j fdt\
приводит к уравнению
w + j2 w = 0.
Переходя к переменным
ctg 6 = -;
x зш 0
найдем, что
?+^-0!
Решение этого уравнения имеет вид
V = 1 -J- Ogg-^0-<аг.
Таким образом,
С(д+ l^aje-f а,- -'I а,+ SSL)
i-yIV 1 ,}+a,e '
90
Кинематика и уравнения движения точки
{Гл. 1
х = Re |, у = Img.
1.45. Имеем уравнение движения тела
тт + у ({) г Ч* & (О г - 0.
Предположим, что существует такое преобразование времени т = т (<)>
которое приводит к уравнению
Ат
d2г . dr , и
m-^ + T"ir + v
С ПОСТОЯННЫМИ Уо и *0-
Переходя к новой независимой переменной т в первом уравнении н сравнивая
результат со вторым уравнением, найдем, что функции y(t) и k(l) должны
удовлетворять дифференциальному уравнению
т
: (О
кц
d
dt
/I
k(t)
h
+
Y (0
Vl
ML
*0
= Yo.
а преобразование времени определяется интегралом
ML
h
1.46. В качестве ортов выбираем орт
dr
ds '
dt.
направленный по касательной к траектории (s - длина дуги, отсчитываемая
вдоль траектории), орт п, нормальный к траектории и направленный к центру
кривизны:
n = R~^^R-
где R =
d1 г 1-1
ds1
' ds ds2
радиус кривизны, и орт
п6 = [птп].
Найдем скорость и ускорение:
Уравнения движения точки
91
dv " ' * " *о ¦*
W =----------------= snt + s nt = snT f s2 =
snx--H-n.
dt ds H
Следовательно,
ms - FT; = F"; 0 = Fb. R
1.47. 1) Рассмотрим уравнение
mx = F{t) (1)
с начальными условиями x(t<i) =0; x(t0)-0. Обозначим через L оператор,
преобразующий функцию F(t) в решение уравнения
x(t) =r LF(t). (2)
В силу линейности уравнения (1) оператор L обладает свойством
суперпозиции
HFi+Fi)^LF1 + LFa (3)
и свойством
L(CF)^CL(F)t (4)
где С - постоянная.
Будем понимать под функцией Грина G(t,t') результат воздействия единичной
силы, действующей в момент времени t'. Тогда
G(t, t') = L8(t - t'). (5)
Как с помощью функции Грина G(t,tr) выразить результат
преобразования (2) любой заданной функции F(t)7 Для этого пред-
ставим F(t) в виде
ОФ
F(t)^ - i')df.
и
Следовательно,
00
*(/) = L JF (0*6 (* - *')#'¦
fo
Согласно свойствам (3), (4) и определению (5)
