Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
(3)
Интегрируя (3), подучим
v{t) = -uth it
gi
(4)
gt
Из таблиц thx следует, что при =с2 ж1. Поэтому на-
и и
чиная с t^2u/g, движение происходит практически с постоянной скоростью и.
Переходя в (2) к переменной г
da
dz
g
и интегрируя это уравнение, находим зависимость скорости от высоты
V (2) =
1 - ехр
1/2
Inch-
Интегрируя (4), получим высоту как функцию времени:
г(*) = Я-
1.32. В системе координат (рис. 1.32) с н-ачалом в источнике, осью у,
направленной по вертикали вверх, и осью х, лежащей в заданной плоскости,
закон движения каждой частицы определяется функциями
х = v0cos a-t\
¦ n"sin a-t ¦
gt2
2
где a - угол между начальной скоростью и осью X.
Следовательно, уравнение траектории частицы имеет вид
у=х tga-
(1)
2ог0 cos* а
Точки, лежащие на огибающей у\{х), принадлежат траекториям и
удовлетворяют условию
82
Кинематика и уравнения движения точки
[Гл. 1
ду (*. а) _ п
да
(2)
откуда следует, что tga=vo/gx. Затем из (1) и (2) получим уравнение
огибающей
2 ?
(3)
Таким образом, областью, недостижимой для рассматриваемого пучка частиц,
является область, лежащая вне "параболы безопасности" (3).
1.33. Пусть к - орт, направленный по вертикали вверх. Тогда уравнение
движения любой из частиц имеет вид
mr = - mgk - тх г.
Это уравнение можно переписать в форме
d
di
откуда
re
Kt
e** k + v0 -f -k,
где vo - начальная скорость некоторой частицы. Так как при t=0 г=0
(начало координат помещено в "испускающую" точку), то
Vo
(1 -е~к*)
gt
Это закон движения произвольно выбранной частицы. Из равенства
г +
il L (1
X X(r)
(1 - в-"*')
следует, что в момент времени t все частицы независимо от направления
начальной скорости окажутся на расстоянии
-^(1- в-*)
X
от точки, лежащей на расстоянии
Л------
X ха
от начала координат вниз по вертикали.
Уравнения движения точки
83
1.34. Уравнениями движения в координатах х, у, г являются-
x = -^-sin у = 0; 2 = 0. т а
у = 0; г = n0/; х - sin -
tTt &
Л.
mvo \ a * = (JLein*L_f
Следовательно,
Отсюда
mv0 \ Vo a
1.35. Проинтегрировав уравнение движения протона
mr - eEiCOS со/ + eE2sin со/,
получим
г _ . cos со/ - sin со/ 4 А/ + В,
тш2 mft)2
где А и В - постоянные интегрирования. Направляя ось х декартовых
координат вдоль вектора Еь а ось у - вдоль Е2, найдем
еЕ
х = -- (1 - cos со/) 4 xat + х0;
тю(r)
у = (со^ __ sin шf) + 4 ^ ;
шсо2
2 = 20/ -I- 20.
Отсюда видно, что траектория протона будет циклоидой, лежащей в плоскости
z=z0, если х0 = у0 - z0 = 0 и ?, = ?2.
1.36. Запишем уравнение движения электрона в координатах:
* = -cocos ау-у, (1)
у = со cos ас/-л:; (2)
г = 0, (3)
|е I Wo
где со =
тс
Из (3) с учетом начальных условий следует, что z-О, а из (1) находим
(c) , /лч
х = -. - sin ay. (4)
84
Кинематика и уравнения движения точки
[Гл I
Подставляя (4) в (2), получим уравнение
у х ~~ sin 2оу. (5)
2а
Умножая обе части (5) на у и интегрируя, найдем
d / у2, \ d юа 0
- IJL =--------------------cos 2 ay.
dt \ 2 j dt 4aa
Следовательно,
со2
c°s2a^ + C1 = yo¦
2a2 x J 2a2 '
T. e.
У* - sin2 ay. (6)
a2
Кстати, уравнение (6) следует непосредственно из закона сохранения
кинетической энергии
и2 = Я-2 + у2 - у1 и (4). Далее, из (6) находим
dy
У "- (т
t. (7)
( 2
Sin ОД '
Соотношение (7) дает зависимость у(t) в квадратуре. Используя ее, из (4)
можно найти x(t), а из (4) с помощью (7) - уравнение траектории в виде
cos ay = sh ах + ch ах, со
1 37. Направим ось х вдоль напряженности Е электрического поля, а ось z -
вдоль напряженности Н магнитного поля Тогда уравнения движения примут вид
х = щ + (1а)
т
у ^ - сох; (lb)
z - 0, (1с)
где ю = eHjmc.
Уравнения движения точки
85
Учитывая начальные условия r(0) =r0; v(0)=vo, из (1с) находим
г = V + 20. (2)
Интегрирование (1а) и (lb) удобно провести, вводя комплексную
координату % = x + iy. Умножая (lb) на i и складывая результат
умножения почленно с (1а), получим
| = -ico| + - Е (3)
т
с начальными условиями % (0) = х0 ~riyu, |(0)=x0-iy0. Интегрируя (3),
найдем
1(0 = 0^--^, (4)
та
где
ieE
Cl = i(0) н
та Итак,
= i (0) е~ш i- - (е-'"' - 1). (5)
J та
Поскольку .V = Re g, г/ = Im |, из (5) следует
еЕ
х (t) -= хь qos (at + yQ sin (at + sin tat; (6)
eE
У (0 = Уоcos ~ *"slti at -f (cos at - 1).
та
Из (6) видно, что заряд имеет постоянную составляющую скорости в
направлении [ЕН], равную по величине eEjma = cEjH.
1.38 Уравнение движения заряда
mv = еЕ + - [vH]
с
после замены
lEHl I
V = с-
я2
преобразуется в уравнение
=e-iL(EH) J- Му'Н].
Далее, подстановка
v' = е - (EH)t Ь v" тН2 к ' Г
86
Кинематика и уравнения движения точки
[Гл 1
дает
mvff = - [v"HJ.
Следовательно, скорость заряда может быть представлена в виде
Здесь первый член правой части равен скорости дрейфа электрона в
направлении, перпендикулярном к плоскости, проходящей через векторы Е и
Н, а второй член характеризует ускоренное движение вдоль магнитного поля.
получим уравнения в координатах
х^(оу~{у!т)х-, у = -т~~(у/т)у; г = -(y/m)z.
